Comment simplifier les nombres complexes

Contenu

• TL; DR (Trop long; n'a pas lu)
• Qu'est-ce qu'un nombre complexe?
• Règles de base pour l'algèbre avec des nombres complexes
• Division de nombres complexes
• Simplifier les nombres complexes

L'algèbre implique souvent la simplification des expressions, mais certaines expressions sont plus difficiles à traiter que d'autres. Les nombres complexes impliquent la quantité connue sous le nom je, un nombre "imaginaire" avec la propriété je = √ − 1. Si vous devez simplement utiliser une expression impliquant un nombre complexe, cela peut sembler décourageant, mais c’est un processus assez simple une fois que vous maîtrisez les règles de base.

TL; DR (Trop long; n'a pas lu)

Simplifiez les nombres complexes en suivant les règles de l'algèbre avec des nombres complexes.

Qu'est-ce qu'un nombre complexe?

Les nombres complexes sont définis par leur inclusion du je terme, qui est la racine carrée de moins un. En mathématiques de base, les racines carrées des nombres négatifs n'existent pas vraiment, mais elles apparaissent parfois dans des problèmes d’algèbre. La forme générale d'un nombre complexe montre leur structure:

z = une + bi

Où z étiquette le nombre complexe, une représente un nombre quelconque (appelé la partie «réelle»), et b représente un autre nombre (appelé la partie "imaginaire"), les deux pouvant être positifs ou négatifs. Donc, un exemple de nombre complexe est:

z = 2 -4_i_

Toutes les racines carrées de nombres négatifs pouvant être représentées par des multiples de je, c'est la forme pour tous les nombres complexes. Techniquement, un nombre régulier décrit simplement un cas particulier de nombre complexe où b = 0, donc tous les nombres peuvent être considérés comme complexes.

Règles de base pour l'algèbre avec des nombres complexes

Pour ajouter et soustraire des nombres complexes, ajoutez ou soustrayez les parties réelle et imaginaire séparément. Donc, pour les nombres complexes z = 2 - 4_i_ et w = 3 + 5_i_, la somme est:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)je

= 5 + 1_i_ = 5 + je

La soustraction des nombres fonctionne de la même manière:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)je

= −1 - 9_i_

La multiplication est une autre opération simple avec des nombres complexes, car elle fonctionne comme une multiplication ordinaire, sauf que vous devez vous rappeler que je² = −1. Donc, pour calculer 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Mais depuis je²= −1, alors:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

Avec des nombres complexes complets (en utilisant z = 2 - 4_i_ et w = 3 + 5_i_ encore), vous les multipliez de la même manière que vous le feriez avec des nombres ordinaires comme (une + b) (c + ré), en utilisant la méthode «premier, intérieur, extérieur, dernier» (FOIL), pour donner (une + b) (c + ré) = ac + avant JC + un d + bd. Tout ce que vous devez vous rappeler est de simplifier les instances de je². Donc par exemple:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 -12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Division de nombres complexes

Pour diviser des nombres complexes, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué complexe du dénominateur. Le complexe conjugué signifie simplement la version du nombre complexe avec la partie imaginaire inversée en signe. Donc pour z = 2 - 4_i_, le complexe conjugué z = 2 + 4_i_, et pour w = 3 + 5_i_, w = 3 -5_i_. Pour le problème:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Le conjugué nécessaire est w*. Divisez le numérateur et le dénominateur par ceci pour donner:

z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

Et ensuite, vous travaillez comme dans la section précédente. Le numérateur donne:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

Et le dénominateur donne:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Ça signifie:

z / w = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

Simplifier les nombres complexes

Utilisez les règles ci-dessus si nécessaire pour simplifier les expressions complexes. Par exemple:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - je)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ je))

Cela peut être simplifié en utilisant la règle d'addition dans le numérateur, la règle de multiplication dans le dénominateur, puis en complétant la division. Pour le numérateur:

(4 + 2_i_) + (2 - je) = 6 + je

Pour le dénominateur:

(2 + 2_i _) (2+ je) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Leur remise en place donne:

z = (6 + je) / (2 + 6_i_)

Multiplier les deux parties par le conjugué du dénominateur conduit à:

z = (6 + je) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

Donc cela signifie z se simplifie comme suit:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - je)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ je)) = 9/20 −17_i_ / 20