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Les trois méthodes les plus couramment utilisées pour résoudre les systèmes d’équation sont les matrices de substitution, d’élimination et augmentées. La substitution et l'élimination sont des méthodes simples qui peuvent résoudre efficacement la plupart des systèmes de deux équations en quelques étapes simples. La méthode des matrices augmentées nécessite plus d'étapes, mais son application s'étend à une plus grande variété de systèmes.
Substitution
La substitution est une méthode de résolution de systèmes d’équations en supprimant toutes les variables d’une des équations sauf une, puis en résolvant cette équation. Ceci est réalisé en isolant l'autre variable dans une équation, puis en substituant des valeurs à ces variables dans une autre équation. Par exemple, pour résoudre le système d’équations x + y = 4, 2x - 3y = 3, isolez la variable x dans la première équation pour obtenir x = 4 - y, puis substituez cette valeur de y dans la deuxième équation pour obtenir 2 (4 - y) - 3y = 3. Cette équation est simplifiée à -5y = -5 ou y = 1. Insérez cette valeur dans la deuxième équation pour trouver la valeur de x: x + 1 = 4 ou x = 3.
Élimination
L'élimination est un autre moyen de résoudre des systèmes d'équations en réécrivant l'une des équations en fonction d'une seule variable. La méthode d'élimination y parvient en ajoutant ou en soustrayant des équations afin d'annuler l'une des variables. Par exemple, en ajoutant les équations x + 2y = 3 et 2x - 2y = 3, vous obtenez une nouvelle équation, 3x = 6 (notez que les termes y ont été annulés). Le système est alors résolu en utilisant les mêmes méthodes que pour la substitution. S'il est impossible d'annuler les variables des équations, il sera nécessaire de multiplier l'équation entière par un facteur pour que les coefficients correspondent.
Matrice augmentée
Les matrices augmentées peuvent également être utilisées pour résoudre des systèmes d'équations. La matrice augmentée se compose de lignes pour chaque équation, de colonnes pour chaque variable et d'une colonne augmentée contenant le terme constant de l'autre côté de l'équation. Par exemple, la matrice augmentée pour le système d'équations 2x + y = 4, 2x - y = 0 est, ...].
Déterminer la solution
L'étape suivante implique l'utilisation d'opérations élémentaires sur les lignes, telles que la multiplication ou la division d'une ligne par une constante autre que zéro et l'ajout ou la soustraction de lignes. Le but de ces opérations est de convertir la matrice en forme de ligne-échelon, dans laquelle la première entrée non nulle de chaque ligne est un 1, les entrées situées au-dessus et au-dessous de cette entrée sont toutes de zéros, et la première entrée non nulle de chaque row est toujours à droite de toutes ces entrées dans les rangées au-dessus. La forme en rangée pour la matrice ci-dessus est, ...]. La valeur de la première variable est donnée par la première ligne (1x + 0y = 1 ou x = 1). La valeur de la deuxième variable est donnée par la deuxième ligne (0x + 1y = 2 ou y = 2).
Applications
La substitution et l'élimination sont des méthodes plus simples de résolution d'équations et sont utilisées beaucoup plus fréquemment que les matrices augmentées dans l'algèbre de base. La méthode de substitution est particulièrement utile lorsque l'une des variables est déjà isolée dans l'une des équations. La méthode d'élimination est utile lorsque le coefficient d'une des variables est le même (ou son équivalent négatif) dans toutes les équations. Le principal avantage des matrices augmentées est qu’elles peuvent être utilisées pour résoudre des systèmes de trois équations ou plus dans des situations où la substitution et l’élimination sont impossibles ou impossibles.