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Les propriétés associatives, ainsi que les propriétés commutatives et distributives, constituent la base des outils algébriques utilisés pour manipuler, simplifier et résoudre des équations. Cependant, ces propriétés ne sont pas seulement utiles en classe de mathématiques, elles facilitent également la résolution des problèmes mathématiques courants. Bien qu'il n'y ait que deux propriétés associatives, la propriété associative d'addition et la propriété associative de soustraction, deux propriétés "pseudo" associatives de la soustraction et la division peuvent être utilisées avec un peu de réflexion supplémentaire.
Propriété associative d'addition
La propriété associative d’addition permet de regrouper certaines parties d’une chaîne de termes ou «morceaux» ajoutés sans modifier le sens ou la réponse. Ce regroupement est effectué en déplaçant les emplacements des parenthèses. Par exemple, (3 + 4 + 5) + (7 + 6) pourraient être modifiés à l'aide de la propriété associative d'addition, pour ressembler à ceci: (3 + 4) + (5 + 7 + 6). Vous pouvez vérifier que la propriété est vraie en suivant l'ordre des opérations, qui indique que les opérations à l'intérieur des parenthèses doivent être effectuées en premier et en observant que (12) + (13) est égal à 25, tandis que (7) + (18) est également égal à 25
Propriété associative de multiplication
La propriété associative de la multiplication fonctionne exactement comme celle de l'addition, sauf qu'elle traite de l'opération de multiplication. Donc, cela tient que vous pouvez changer les parenthèses dans une chaîne de multiplication sans affecter le résultat. Par exemple, (15 x 2) (3 x 4) (6 x 2) pourrait être réécrit sous la forme (15 x 2 x 3) (4 x 6 x 2) et vous obtiendriez toujours la même réponse. Cette propriété vous permet également de travailler avec la multiplication en ce qui concerne les variables et leurs coefficients. Par exemple, vous ne pouvez pas faire 4 (3X) car X est une inconnue et vous devez faire 3 x X en premier, en fonction de l'ordre des opérations. Cependant, la propriété associative de multiplication vous permet de réécrire 4 (3X) en tant que (4x3) X, ce qui vous donne ensuite 12X.
Soustraction
Il n'y a pas de propriété associative de soustraction. Cependant, vous pouvez travailler avec la soustraction dans certains cas en la changeant en "plus un nombre négatif". Par exemple, (3X - 4X) + (13X - 2X - 6X) pourrait tout d’abord être remplacé par (3X + -4X) + (13X + -2X + -6X). Ensuite, vous pouvez appliquer la propriété associative d’addition afin qu’elle se présente comme suit: (3X + -4X + 13X) + (-2X + 6X). Toutefois, cela ne fonctionnera pas si le signe de soustraction dans le problème initial est situé entre les ensembles de parenthèses. (Pour cela, la propriété distributive est nécessaire).
Division
Il n'y a pas non plus de propriété associative de division. Par conséquent, la division doit être réécrite en multipliant par une réciproque. Si une expression se lit comme suit: (5 x 7/3) (3/4 x 6), vous devrez la remplacer par: (5 x 7 x 1/3) x (3 x 1/4 x 6). Ensuite, vous pouvez utiliser la propriété associative pour l'écrire sous la forme (5 x 7) x (1/3 x 3 x 1/4 x 6). Cependant, comme avec la soustraction, vous ne pouvez pas utiliser cette technique si le signe de division est entre parenthèses.