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Les taux de changement apparaissent partout dans la science, et en particulier dans la physique, à travers des quantités telles que la vitesse et l'accélération. Les dérivés décrivent le taux de changement d'une quantité par rapport à une autre mathématiquement, mais leur calcul peut parfois être compliqué, et vous pourriez être présenté avec un graphique plutôt qu'une fonction sous forme d'équation. Si un graphique représentant une courbe vous est présenté et que vous devez en rechercher le dérivé, vous ne pourrez peut-être pas être aussi précis qu’une équation, mais vous pouvez facilement faire une estimation solide.
TL; DR (Trop long; n'a pas lu)
Choisissez un point sur le graphique pour trouver la valeur de la dérivée.
Tracez une ligne droite tangente à la courbe du graphique à cet endroit.
Prenez la pente de cette ligne pour trouver la valeur de la dérivée au point que vous avez choisi sur le graphique.
Qu'est-ce qu'un dérivé?
En dehors du réglage abstrait de la différenciation d'une équation, vous pourriez être un peu confus quant à ce qu'est un dérivé. En algèbre, une dérivée d'une fonction est une équation qui vous indique la valeur de la «pente» de la fonction en tout point. En d'autres termes, il vous indique combien de fois une quantité change en raison d'un léger changement dans l'autre. Sur un graphique, le gradient ou la pente de la ligne vous indique combien la variable dépendante (placée sur la y-axis) change avec la variable indépendante (sur le X-axe).
Pour les graphiques en ligne droite, vous déterminez le taux de changement (constant) en calculant la pente du graphique. Les relations décrites par les courbes ne sont pas aussi faciles à traiter, mais le principe selon lequel la dérivée signifie simplement que la pente (à ce point spécifique) est toujours valable.
Pour les relations décrites par des courbes, la dérivée prend une valeur différente en chaque point de la courbe. Pour estimer la dérivée du graphique, vous devez choisir un point sur lequel prendre la dérivée. Par exemple, si vous avez un graphique montrant la distance parcourue en fonction du temps, sur un graphique en ligne droite, la pente vous indiquerait la vitesse constante. Pour les vitesses qui changent avec le temps, le graphique serait une courbe, mais une ligne droite touchant juste la courbe en un point (une ligne tangentielle à la courbe) représente le taux de changement en ce point spécifique.
Choisissez un endroit où vous devez connaître le dérivé. À l'aide de l'exemple distance parcourue en fonction du temps, sélectionnez l'heure à laquelle vous souhaitez connaître la vitesse de déplacement. Si vous devez connaître la vitesse à différents points, vous pouvez exécuter ce processus pour chaque point. Si vous voulez connaître la vitesse 15 secondes après le début du mouvement, choisissez l’emplacement sur la courbe à 15 secondes de l’écran. X-axe.
Tracez une ligne tangente à la courbe au point qui vous intéresse. Prenez votre temps, car c’est la partie la plus importante et la plus difficile du processus. Votre estimation sera meilleure si vous tracez une ligne tangente plus précise. Tenez une règle jusqu'au point de la courbe et ajustez son orientation pour que la ligne que vous tracez seulement touchez la courbe au point unique qui vous intéresse.
Tracez votre ligne aussi longtemps que le graphique le permettra. Assurez-vous que vous pouvez facilement lire deux valeurs pour le X et y coordonnées, une au début de votre ligne et l’autre à la fin. Vous n’avez absolument pas besoin de tracer une ligne longue (techniquement, toute ligne droite convient), mais les lignes plus longues ont tendance à être plus facile à mesurer la pente.
Localisez deux endroits sur votre ligne et notez le X et y coordonnées pour eux. Par exemple, imaginez votre ligne tangente comme deux endroits remarquables à X = 1, y = 3 et X = 10, y = 30, que vous pouvez appeler Point 1 et Point 2. Utilisation des symboles X1 et y1 pour représenter les coordonnées du premier point et X2 et y2 pour représenter les coordonnées du deuxième point, la pente m est donné par:
m = (y2 - y1) ÷ (X2 – X1)
Cela vous indique la dérivée de la courbe au point où la ligne touche la courbe. Dans l'exemple, X1 = 1, X2 = 10, y1 = 3 et y2 = 30, donc:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
Dans l'exemple, ce résultat serait la vitesse au point choisi. Donc si le X-axis a été mesurée en secondes et la y-l'axe de mesure était mesuré en mètres, le résultat signifierait que le véhicule en question roulait à 3 mètres par seconde. Indépendamment de la quantité spécifique que vous calculez, le processus d’estimation de la dérivée est identique.