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Regarde les choses en face: les preuves ne sont pas faciles. Et en géométrie, les choses semblent empirer, il faut maintenant transformer les images en déclarations logiques, en tirant des conclusions basées sur de simples dessins. Les différents types de preuves que vous apprenez à l’école peuvent être accablants au début. Mais une fois que vous avez compris chaque type, il vous sera beaucoup plus facile de comprendre quand et pourquoi utiliser différents types d'épreuves en géométrie.
La flèche
La preuve directe fonctionne comme une flèche. Vous commencez par l’information donnée et vous la construisez en vous dirigeant vers l’hypothèse que vous souhaitez prouver. En utilisant la preuve directe, vous utilisez des inférences, des règles de géométrie, des définitions de formes géométriques et une logique mathématique. La preuve directe est le type de preuve le plus standard et, pour de nombreux étudiants, le style de preuve idéal pour résoudre un problème géométrique. Par exemple, si vous savez que le point C est le point médian de la ligne AB, vous pouvez prouver que AC = CB en utilisant la définition du point médian: Le point qui tombe à égale distance de chaque extrémité du segment de ligne. Cela déroge de la définition du point médian et compte comme une preuve directe.
Le boomerang
La preuve indirecte est comme un boomerang; cela vous permet d'inverser le problème. Au lieu de travailler uniquement sur les déclarations et les formes qui vous sont données, vous modifiez le problème en prenant la déclaration que vous souhaitez prouver et en supposant que ce n’est pas vrai. À partir de là, vous montrez que cela ne peut pas ne pas être vrai, ce qui suffit à prouver que c'est vrai. Bien que cela semble déroutant, cela peut simplifier de nombreuses preuves qui semblent difficiles à prouver par une preuve directe. Par exemple, imaginons que vous avez une ligne horizontale AC qui passe par le point B, et au point B est une ligne perpendiculaire à AC avec le point final D, appelée ligne BD. Si vous voulez prouver que la mesure de l'angle ABD est de 90 degrés, vous pouvez commencer par considérer ce que cela signifierait si la mesure de l'ABD n'était pas à 90 degrés. Cela vous mènerait à deux conclusions impossibles: AC et BD ne sont pas perpendiculaires et AC n'est pas une ligne. Mais tous les deux étaient des faits énoncés dans le problème, ce qui est contradictoire. Cela suffit à prouver que ABD est à 90 degrés.
La rampe de lancement
Parfois, vous rencontrez un problème qui vous demande de prouver que quelque chose est faux. Dans un tel cas, vous pouvez utiliser la zone de lancement pour vous débarrasser de la nécessité de traiter directement le problème, en fournissant plutôt un contre-exemple pour montrer que quelque chose est faux. Lorsque vous utilisez un contre-exemple, vous n'avez besoin que d'un seul bon contre-exemple pour prouver votre argument, et la preuve sera valide. Par exemple, si vous devez valider ou invalider la déclaration «Tous les trapèzes sont des parallélogrammes», il vous suffit de fournir un exemple de trapèze autre qu'un parallélogramme. Vous pouvez le faire en dessinant un trapèze avec seulement deux côtés parallèles. L'existence de la forme que vous venez de dessiner réfuterait l'énoncé «tous les trapèzes sont des parallélogrammes».
L'organigramme
Tout comme la géométrie est une mathématique visuelle, l’organigramme, ou preuve de flux, est un type de preuve visuel. Dans une preuve d'écoulement, vous commencez par écrire ou dessiner toutes les informations que vous connaissez les unes à côté des autres. À partir de là, faites des déductions en les écrivant sur la ligne ci-dessous. Ce faisant, vous «empilez» vos informations pour créer quelque chose qui ressemble à une pyramide à l'envers. Vous utilisez les informations dont vous disposez pour faire plus de déductions sur les lignes ci-dessous jusqu'à ce que vous arriviez au bas de la page, une seule déclaration qui prouve le problème. Par exemple, vous pourriez avoir une ligne L qui traverse le point P de la ligne MN et la question vous demande de prouver MP = PN, étant donné que L divise MN en deux. Vous pouvez commencer par écrire les informations données en écrivant «L divise MN en P» en haut. En dessous, écrivez les informations suivantes: Les bisections produisent deux segments congruents d’une ligne. À côté de cette déclaration, écrivez un fait géométrique qui vous aidera à atteindre la preuve; pour ce problème, le fait que les segments de ligne congruents aient la même longueur aide. Ecrivez ça. Sous ces deux informations, vous pouvez écrire la conclusion, qui suit naturellement: MP = PN.