Comment trouver une équation exponentielle à deux points

Contenu

• Pourquoi les fonctions exponentielles sont importantes
• D'une paire de points à un graphique
• Un point sur l'axe des X
• Aucun point sur l'axe des abscisses
• Un exemple du monde réel

Si vous connaissez deux points qui tombent sur une courbe exponentielle particulière, vous pouvez définir la courbe en résolvant la fonction exponentielle générale à l'aide de ces points. En pratique, cela signifie remplacer les points par y et x dans l'équation y = ab^X. La procédure est plus facile si la valeur x pour l'un des points est 0, ce qui signifie que le point est sur l'axe des y. Si aucun des deux points n'a une valeur x nulle, le processus de résolution de x et y est un peu plus compliqué.

Pourquoi les fonctions exponentielles sont importantes

De nombreux systèmes importants suivent des modèles de croissance et de décroissance exponentiels. Par exemple, le nombre de bactéries dans une colonie augmente habituellement de manière exponentielle et le rayonnement ambiant dans l'atmosphère à la suite d'un événement nucléaire diminue généralement de manière exponentielle. En prenant des données et en traçant une courbe, les scientifiques sont mieux placés pour faire des prédictions.

D'une paire de points à un graphique

Tout point d'un graphe à deux dimensions peut être représenté par deux nombres, généralement écrits sous la forme (x, y), où x définit la distance horizontale à partir de l'origine et y représente la distance verticale. Par exemple, le point (2, 3) est deux unités à droite de l'axe des y et trois unités au-dessus de l'axe des x. D'autre part, le point (-2, -3) correspond à deux unités situées à gauche de l'axe des ordonnées. et trois unités en dessous de l'axe des x.

Si vous avez deux points, (x₁, y₁) et (x₂, y₂), vous pouvez définir la fonction exponentielle qui passe par ces points en les substituant dans l’équation y = ab^X et résoudre pour a et b. En général, vous devez résoudre cette paire d'équations:

y₁ = ab^x1 Andy₂ = ab^x2, .

Sous cette forme, les calculs semblent un peu compliqués, mais ils le sont moins après quelques exemples.

Un point sur l'axe des X

Si l'une des valeurs x - disons x₁ - vaut 0, l'opération devient très simple. Par exemple, résoudre l'équation des points (0, 2) et (2, 4) donne:

2 = ab⁰ et 4 = ab². Puisque nous savons que b⁰ = 1, la première équation devient 2 = a. En remplaçant a dans la deuxième équation, on obtient 4 = 2b², que nous simplifions à b² = 2 ou b = racine carrée de 2, ce qui équivaut à environ 1,41. La fonction qui définit est alors y = 2 (1,41)^X.

Aucun point sur l'axe des abscisses

Si aucune valeur x n'est égale à zéro, la résolution de la paire d'équations est légèrement plus lourde. Henochmath nous montre un exemple simple pour clarifier cette procédure. Dans son exemple, il a choisi la paire de points (2, 3) et (4, 27). Cela donne la paire d'équations suivante:

27 = ab⁴

3 = ab²

Si vous divisez la première équation par la seconde, vous obtenez

9 = b²

donc b = 3. Il est possible que b soit également égal à -3, mais dans ce cas, supposons qu'il soit positif.

Vous pouvez substituer cette valeur à b dans l'une ou l'autre équation pour obtenir un. C'est plus facile d'utiliser la deuxième équation, donc:

3 = a (3)² qui peut être simplifié à 3 = a9, a = 3/9 ou 1/3.

L'équation qui passe par ces points peut être écrite comme y = 1/3 (3)^X.

Un exemple du monde réel

Depuis 1910, la croissance de la population humaine a été exponentielle et, en traçant une courbe de croissance, les scientifiques sont mieux à même de prédire et de planifier l'avenir. En 1910, la population mondiale s'élevait à 1,75 milliard et en 2010, à 6,87 milliards. En prenant 1910 comme point de départ, cela donne la paire de points (0, 1,75) et (100, 6,87). Comme la valeur x du premier point est zéro, nous pouvons facilement trouver un.

1,75 = ab⁰ ou a = 1,75. En branchant cette valeur, ainsi que celles du second point, dans l'équation exponentielle générale, on obtient 6,87 = 1,75 b.¹⁰⁰, ce qui donne la valeur de b en centième racine de 6,87 / 1,75 ou 3,93. Alors l'équation devient y = 1,75 (centième de racine de 3,93)^X. Bien qu'il faille plus qu'une règle de calcul pour le faire, les scientifiques peuvent utiliser cette équation pour projeter les chiffres de population futurs et aider les politiciens du moment à élaborer des politiques appropriées.