La factorisation de polynômes avec des coefficients fractionnaires est plus compliquée que la factorisation avec des coefficients de nombres entiers, mais vous pouvez facilement transformer chaque coefficient fractionnel de votre polynôme en un coefficient de nombre entier sans changer le polynôme global. Trouvez simplement un dénominateur commun pour toutes les fractions, puis multipliez le polynôme entier par ce nombre. Cela vous permettra d’annuler le dénominateur dans chaque fraction, en ne laissant que des coefficients de nombres entiers. Vous pouvez ensuite le factoriser en utilisant les procédures normales de factorisation.
Trouvez la factorisation première du dénominateur de chacun de vos coefficients fractionnaires. La factorisation en nombre premier d'un nombre est l'ensemble unique de nombres premiers qui, multipliés ensemble, sont égaux. Par exemple, la factorisation principale de 24 est 2_2_2_3 (et non 2_3_4 ou 8_3 car 4 et 8 ne sont pas des nombres premiers). Un moyen facile de trouver la factorisation des nombres premiers consiste à diviser le nombre en facteurs à plusieurs reprises jusqu'à ce qu'il ne reste que des nombres premiers: 24 = 4_6 = (2_2) * (2_3) = 2_2_2_3.
Dessinez un diagramme de Venn représentant chacun de vos dénominateurs. Par exemple, si vous aviez trois dénominateurs, vous dessineriez trois cercles, chaque cercle se chevauchant légèrement et les trois se chevauchant au centre (voir Ressources: Diagramme de Venn pour une image). Marquez les cercles "1", "2", etc. en fonction de l'ordre des fractions dans le polynôme.
Placez les facteurs premiers dans le diagramme de Venn en fonction des dénominateurs. Par exemple, si vos trois dénominateurs sont 8, 30 et 10, le premier a une factorisation première de (2_2_2), le second a (2_3_5) et le troisième a (2 * 5). Vous mettriez "2" au centre, parce que les trois dénominateurs partagent le facteur 2. Vous mettriez un "5" dans le chevauchement entre le cercle 2 et le cercle 3 car les deuxième et troisième dénominateurs partagent ce facteur. Enfin, vous mettriez "2" deux fois dans la zone du cercle 1 sans chevauchement et un "3" dans la zone du cercle 2 sans chevauchement, car ces facteurs ne sont partagés par aucun autre dénominateur.
Multipliez tous les nombres de votre diagramme de Venn pour trouver le plus petit dénominateur commun de vos coefficients fractionnaires. Dans l'exemple ci-dessus, vous multiplieriez 2 fois 5 fois 2 fois 2 fois 3 pour obtenir 120, ce qui correspond au plus petit dénominateur commun de 8, 30 et 10.
Multipliez le polynôme entier par le dénominateur commun et distribuez-le à chaque coefficient fractionnel. Vous pourrez annuler le dénominateur dans chaque coefficient, ne laissant que des nombres entiers. Par exemple: 120 (1 / 8_x ^ 2 + 7 / 30_x + 3/10) = 15x ^ 2 + 28x + 36.
Ecrivez deux ensembles de parenthèses, avec le premier terme des deux ensembles un facteur du coefficient principal. Par exemple, 15x ^ 2 facteurs à 3x et 5x: (3x ....) (5x ....).
Trouvez deux nombres qui se multiplient pour que votre constante soit égale à celle du polynôme. Par exemple, 6 fois 6 ou 9 fois 4 est égal à 36. Branchez-les entre vos parenthèses et voyez si elles fonctionnent: (3x + 6) (5x +6); (3x + 9) (5x + 4); (3x + 4) (5x + 9).Vérifiez votre résultat en utilisant FOIL pour ré-agrandir votre polynôme: (3x + 4) (5x + 9) = 15x ^ 2 + 27x + 20x +36 = 15x ^ 2 + 47x + 36, ce qui n’est pas le même que notre original polynôme.
Continuez à insérer différents nombres jusqu'à ce que le résultat corresponde au polynôme d'origine lors de la ré-expansion. Vous devrez peut-être remplacer les premiers termes par différents facteurs du coefficient dominant.
Divisez votre polynôme factorisé par le dénominateur commun de l'étape 4 pour annuler le changement que vous avez effectué en le multipliant à l'étape 5.