Contenu
- Le problème mathématique du Super Bowl
- Trouver une solution (la voie lente)
- La solution algébrique
- Le problème du poulet McNugget
À l'approche du Super Bowl, athlètes et amateurs du monde entier se concentrent fermement sur le grand match. Mais pour les jeunes athlètes, le grand jeu peut évoquer un petit problème lié aux scores possibles dans un match de football. Avec des options limitées pour le nombre de points que vous pouvez marquer, certains totaux ne peuvent tout simplement pas être atteints, mais quel est le plus élevé? Si vous voulez savoir ce qui lie les pièces, le football et les pépites de poulet McDonald’s, c’est un problème pour vous.
Le problème mathématique du Super Bowl
Le problème concerne les scores possibles que les Rams de Los Angeles ou les Patriots de la Nouvelle-Angleterre pourraient éventuellement atteindre dimanche. sans pour autant une sécurité ou une conversion en deux points. En d’autres termes, les moyens possibles d’augmenter leurs scores sont les buts sur le terrain de 3 points et les touchés de 7 points. Donc, sans sécurité, vous ne pouvez pas obtenir un score de 2 points dans une partie avec une combinaison de 3 et 7. De même, vous ne pouvez pas non plus atteindre le score de 4, ni le score de 5.
La question est: Quel est le score le plus élevé ne peux pas être atteint avec seulement des buts de 3 points et des touchés de 7 points?
Bien sûr, les touchés sans conversion valent 6, mais puisque vous pouvez y arriver avec deux buts, le problème n’importe pas. De plus, comme nous traitons de maths ici, vous n’aurez pas à vous soucier de la tactique de l’équipe en question ni de la limite de sa capacité à marquer des points.
Essayez de résoudre ce problème vous-même avant de continuer!
Trouver une solution (la voie lente)
Ce problème a quelques solutions mathématiques complexes (voir Ressources pour plus de détails, mais le résultat principal sera présenté ci-dessous), mais c’est un bon exemple de la façon dont cela n’a pas été fait. nécessaire pour trouver la réponse.
Tout ce que vous avez à faire pour trouver une solution brute-force est d’essayer chacun des scores à tour de rôle. Donc, nous savons que vous ne pouvez pas marquer 1 ou 2, car ils sont moins de 3. Nous avons déjà établi que 4 et 5 ne sont pas possibles, mais 6 est, avec deux buts. Après 7 (ce qui est possible), pouvez-vous marquer 8? Nan. Trois buts sur le terrain donnent 9, et un but et un touché converti en font 10. Mais vous ne pouvez pas obtenir 11.
A partir de là, un petit travail montre que:
begin {aligné} 3 × 4 & = 12 7 + (3 × 2) & = 13 7 × 2 & = 14 3 × 5 & = 15 7 + (3 × 3) & = 16 (7 × 2) + 3 & = 17 end {aligné}
Et en fait, vous pouvez continuer ainsi aussi longtemps que vous le souhaitez. La réponse semble être 11. Mais est-ce?
La solution algébrique
Les mathématiciens appellent ces problèmes «problèmes de pièces de monnaie Frobenius». La forme originale se rapportait aux pièces de monnaie, telles que: Si vous n'aviez que des pièces de monnaie évaluées à 4 cents et 11 cents (pas de vraies pièces, quantité d'argent que vous ne pouviez pas produire.
La solution, en termes d’algèbre, est qu’un score vaut p points et un score vaut q points, le score le plus élevé que vous ne pouvez pas obtenir (N) est donné par:
N = pq ; - ; (p + q)Donc, brancher les valeurs du problème du Super Bowl donne:
begin {aligné} N & = 3 × 7 ; - ; (3 + 7) & = 21 ; - ; 10 & = 11 end {aligné}Quelle est la réponse, nous avons eu le chemin lent. Et si vous ne pouviez marquer que des touchés sans conversion (6 points) et des touchés avec des conversions en un point (7 points)? Voyez si vous pouvez utiliser la formule pour résoudre le problème avant de continuer à lire.
Dans ce cas, la formule devient:
begin {aligné} N & = 6 × 7 ; - ; (6 + 7) & = 42 ; - ; 13 & = 29 end {aligné}Le problème du poulet McNugget
Donc, le jeu est terminé et vous voulez récompenser l'équipe gagnante avec un voyage à McDonalds. Mais ils ne vendent que des McNuggets par boîtes de 9 ou 20. Alors, quel est le plus grand nombre de pépites que vous pouvez acheter? ne peux pas acheter avec ces numéros de boites (obsolètes)? Essayez d’utiliser la formule pour trouver la réponse avant de continuer à lire.
Puisque
N = pq ; - ; (p + q)Et avec p = 9 et q = 20:
begin {aligné} N & = 9 × 20 ; - ; (9 + 20) & = 180 ; - ; 29 & = 151 end {aligné}Donc, à condition d'acheter plus de 151 pépites - l'équipe gagnante aura probablement bien faim, après tout -, vous pouvez acheter le nombre de pépites que vous voulez avec une combinaison de boîtes.
Vous vous demandez peut-être pourquoi nous n’avons couvert que les versions à deux chiffres de ce problème. Et si nous incorporions des sécurités, ou si McDonalds vendait trois tailles de boîtes de pépites? Il y a pas de formule claire dans ce cas, et bien que la plupart des versions puissent être résolues, certains aspects de la question ne sont absolument pas résolus.
Alors peut-être que lorsque vous regardez le match ou mangez des bouchées de poulet, vous pouvez affirmer que vous essayez de résoudre un problème ouvert en mathématiques - cela vaut la peine d'essayer de sortir des tâches ménagères!