La distance euclidienne est la distance entre deux points de l'espace euclidien. L'espace euclidien a été conçu à l'origine par le mathématicien grec Euclid vers 300 av. J.-C. étudier les relations entre les angles et les distances. Ce système de géométrie est encore utilisé de nos jours et est celui que les lycéens étudient le plus souvent. La géométrie euclidienne s'applique spécifiquement aux espaces de deux et trois dimensions. Cependant, il peut facilement être généralisé à des dimensions d'ordre supérieur.
Calcule la distance euclidienne pour une dimension. La distance entre deux points d'une même dimension est simplement la valeur absolue de la différence entre leurs coordonnées. Mathématiquement, ceci est représenté par | p1 - q1 | où p1 est la première coordonnée du premier point et q1 la première coordonnée du deuxième point. Nous utilisons la valeur absolue de cette différence car la distance est normalement considérée comme n'ayant qu'une valeur non négative.
Prendre deux points P et Q dans un espace euclidien à deux dimensions. Nous décrirons P avec les coordonnées (p1, p2) et Q avec les coordonnées (q1, q2). Construisons maintenant un segment de droite avec les extrémités de P et Q. Ce segment de ligne formera l'hypoténuse d'un triangle rectangle. En prolongeant les résultats obtenus à l’étape 1, on note que les longueurs des branches de ce triangle sont données par | p1 - q1 | et | p2 - q2 |. La distance entre les deux points sera alors donnée comme la longueur de l'hypoténuse.
Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de l'hypoténuse à l'étape 2. Ce théorème indique que c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 où c est la longueur d'un hypoténuse de triangle rectangle et a, b sont les longueurs de l'autre deux jambes. Cela nous donne c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). La distance entre 2 points P = (p1, p2) et Q = (q1, q2) dans un espace à deux dimensions est donc ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Étendre les résultats de l'étape 3 à un espace tridimensionnel. La distance entre les points P = (p1, p2, p3) et Q = (q1, q2, q3) peut alors être définie comme ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Généralisez la solution à l'étape 4 pour la distance entre deux points P = (p1, p2, ..., pn) et Q = (q1, q2, ..., qn) dans n dimensions. Cette solution générale peut être donnée par ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).