Comment trouver les racines d'un polynôme

Contenu

• Combien de racines?
• Avertissements
• Trouver des racines par affacturage: Exemple 1
• Trouver des racines par affacturage: Exemple 2
• Trouver des racines en graphiques

Les racines d’un polynôme sont également appelées ses zéros, car ce sont les racines. X valeurs pour lesquelles la fonction est égale à zéro. Pour trouver les racines, vous disposez de plusieurs techniques. la factorisation est la méthode que vous utiliserez le plus fréquemment, bien que la représentation graphique puisse également être utile.

Combien de racines?

Examinez le terme de degré le plus élevé du polynôme - c’est-à-dire le terme avec l’exposant le plus élevé. Cet exposant est le nombre de racines du polynôme. Donc, si le plus grand exposant de votre polynôme est 2, il aura deux racines; si l'exposant le plus élevé est 3, il aura trois racines; etc.

Avertissements

Trouver des racines par affacturage: Exemple 1

La manière la plus polyvalente de trouver des racines consiste à factoriser autant que possible votre polynôme, puis à définir chaque terme à zéro. Cela fait beaucoup plus de sens une fois que vous avez suivi quelques exemples. Considérons le polynôme simple X² - 4_x: _

Un bref examen montre que vous pouvez prendre en compte X sur les deux termes du polynôme, ce qui vous donne:




X(X – 4)

Définissez chaque terme à zéro. Cela signifie résoudre pour deux équations:

X = 0 est le premier terme à zéro, et

X - 4 = 0 est le deuxième terme défini à zéro.

Vous avez déjà la solution au premier terme. Si X = 0, l'expression entière est égale à zéro. Alors X = 0 est l'une des racines, ou zéros, du polynôme.

Maintenant, considérons le deuxième terme et résolvent pour X. Si vous ajoutez 4 aux deux côtés, vous aurez:

X - 4 + 4 = 0 + 4, ce qui simplifie à:

X = 4. Donc si X = 4 alors le deuxième facteur est égal à zéro, ce qui signifie que le polynôme entier est égal à zéro également.

Comme le polynôme d'origine était du deuxième degré (le plus grand exposant était deux), vous savez qu'il n'y a que deux racines possibles pour ce polynôme. Vous avez déjà trouvé les deux, vous n'avez donc qu'à les énumérer:




X = 0, X = 4

Trouver des racines par affacturage: Exemple 2

Voici un autre exemple de la façon de trouver des racines en factorisant, en utilisant une algèbre de fantaisie en cours de route. Considérons le polynôme X⁴ - 16. Un rapide coup d'œil à ses exposants montre qu'il devrait y avoir quatre racines pour ce polynôme; il est maintenant temps de les trouver.

Avez-vous remarqué que ce polynôme peut être réécrit en tant que différence de carrés? Donc au lieu de X⁴ - 16 ans, vous avez:

(X²)² – 4²

Ce qui, en utilisant la formule de la différence des carrés, prend en compte ce qui suit:

(X² – 4)(X² + 4)

Le premier terme est, encore une fois, une différence de carrés. Donc, bien que vous ne puissiez plus imposer le terme à droite, vous pouvez le factoriser encore une fois:

(X – 2)(X + 2)(X² + 4)

Il est maintenant temps de trouver les zéros. Il devient vite évident que si X = 2, le premier facteur sera égal à zéro et l'expression entière sera donc égale à zéro.

De même, si X = -2, le second facteur sera égal à zéro et donc l'expression entière.

Alors X = 2 et X = -2 sont les deux zéros, ou racines, de ce polynôme.

Mais qu'en est-il de ce dernier terme? Comme il a un exposant "2", il devrait avoir deux racines. Mais vous ne pouvez pas prendre en compte cette expression en utilisant les nombres réels auxquels vous êtes habitué. Vous devez utiliser un concept mathématique très avancé appelé nombres imaginaires ou, si vous préférez, des nombres complexes. C’est bien au-delà de votre pratique mathématique actuelle, il vous suffit donc de noter que vous avez deux racines réelles (2 et -2) et deux racines imaginaires que vous laisserez indéfinies.

Trouver des racines en graphiques

Vous pouvez également trouver, ou au moins estimer, les racines en graphiques. Chaque racine représente un endroit où le graphe de la fonction traverse la X axe. Donc, si vous tracez le graphique, puis notez le X les coordonnées où la ligne traverse la X axe, vous pouvez insérer le estimé X valeurs de ces points dans votre équation et vérifiez si vous les avez correctes.

Considérez le premier exemple que vous avez travaillé, pour le polynôme X² - 4_x_. Si vous le dessinez avec soin, vous verrez que la ligne traverse le X axe à X = 0 et X = 4. Si vous entrez chacune de ces valeurs dans l'équation d'origine, vous obtiendrez:

0² - 4 (0) = 0, donc X = 0 était un zéro ou une racine valide pour ce polynôme.

4² - 4 (4) = 0, donc X = 4 est également un zéro ou une racine valide pour ce polynôme. Et comme le polynôme était de degré 2, vous savez que vous pouvez cesser de chercher après avoir trouvé deux racines.