Comment simplifier les fractions radicales

Contenu

• Annuler des expressions radicales d'une fraction
• Simplifier l'expression radicale
• Rationaliser le dénominateur

Les fractions radicales ne sont pas de petites fractions rebelles qui restent en retard, buvant et fumant de la marijuana. Au lieu de cela, ils sont des fractions qui incluent des radicaux - généralement des racines carrées lorsque vous êtes introduit pour la première fois au concept, mais plus tard, vous pouvez également rencontrer des racines de cube, des quatrièmes racines, etc., qui sont également appelés des radicaux. En fonction de ce que votre professeur vous demande de faire, il existe deux manières de simplifier les fractions radicales: Soit factoriser complètement le radical, soit le simplifier, soit "rationaliser" la fraction, ce qui signifie que vous éliminez le radical du dénominateur mais avoir un radical dans le numérateur.

Annuler des expressions radicales d'une fraction

Considérez votre première option, en considérant le radical hors de la fraction. Il y a en fait deux façons de le faire. Si le même radical existe dans tous les termes dans le haut et le bas de la fraction, vous pouvez simplement factoriser et annuler l’expression radicale. Par exemple, si vous avez:

(2√3) / (3√3_)_

Vous pouvez exclure les deux radicaux, car ils sont présents dans chaque terme du numérateur et du dénominateur. Cela vous laisse avec:

√3/√3 × 2/3

Et comme toute fraction ayant exactement les mêmes valeurs non nulles au numérateur et au dénominateur est égale à un, vous pouvez la réécrire comme suit:

1 × 2/3

Ou simplement 2/3.

Simplifier l'expression radicale

Parfois, vous serez confronté à une expression radicale qui n’a pas de réponse concise, comme √3 de l’exemple précédent. Dans ce cas, vous conserverez généralement le terme radical tel quel, en utilisant des opérations de base comme la factorisation ou l'annulation pour le supprimer ou l'isoler. Mais parfois, il y a une réponse évidente. Considérons la fraction suivante:

(√4)/(√9)

Dans ce cas, si vous connaissez vos racines carrées, vous pouvez voir que les deux radicaux représentent en fait des entiers familiers. La racine carrée de 4 est 2, et la racine carrée de 9 est 3. Ainsi, si vous voyez des racines carrées familières, vous pouvez simplement réécrire la fraction avec elles sous leur forme entière simplifiée. Dans ce cas, vous avez:

2/3

Cela fonctionne également avec les racines de cube et autres radicaux. Par exemple, la racine du cube de 8 est 2 et la racine du cube de 125 est 5. Donc si vous avez rencontré:

(³√8) / (³√125)

Avec un peu de pratique, vous pourrez voir tout de suite que cela simplifie au plus simple et plus facile à manipuler:

2/5

Rationaliser le dénominateur

Souvent, les enseignants vous laisseront garder des expressions radicales dans le numérateur de votre fraction. mais, tout comme le nombre zéro, les radicaux posent des problèmes lorsqu'ils apparaissent dans le dénominateur ou le nombre inférieur de la fraction. Ainsi, la dernière façon de vous demander de simplifier les fractions radicales est une opération appelée rationalisation de celles-ci, ce qui signifie simplement extraire le radical du dénominateur. Cela signifie souvent que l'expression radicale apparaît au numérateur.

Considérons la fraction

4/_√_5

Vous ne pouvez pas facilement simplifier _√_5 en un entier, et même si vous en tenez compte, vous restez avec une fraction qui a un radical dans le dénominateur, comme suit:

1/_√_5 × 4/1

Donc, aucune des méthodes déjà discutées ne fonctionnera. Mais si vous vous souvenez des propriétés des fractions, une fraction avec un nombre non nul en haut et en bas est égale à 1. Vous pouvez donc écrire:

√_5/√_5 = 1

Et comme vous pouvez multiplier par 1 tout le reste sans changer la valeur de cet autre objet, vous pouvez également écrire ce qui suit sans changer réellement la valeur de la fraction:

√_5/√5 × 4/√_5

Une fois que vous vous multipliez, il se passe quelque chose de spécial. Le numérateur devient 4_√_5, ce qui est acceptable car votre objectif était simplement d'obtenir le dénominateur radical. Si cela apparaît au numérateur, vous pouvez vous en occuper.

Pendant ce temps, le dénominateur devient √_5 × √5 ou (√_5)². Et puisqu’une racine carrée et un carré s’annulent, cela se résume simplement à 5. Donc, votre fraction est maintenant:

4_√_5 / 5, qui est considéré comme une fraction rationnelle car il n'y a pas de radical dans le dénominateur.