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Un polygone est une figure bidimensionnelle fermée ayant au moins 3 côtés droits (non incurvés). Un polygone à 12 côtés est appelé un dodécagone. Un dodécagone régulier en est un avec des côtés et des angles égaux, et il est possible de dériver une formule pour calculer sa surface. Un dodécagone irrégulier a des côtés de différentes longueurs et différents angles. Une étoile à six branches est un exemple. Il n’ya pas de moyen facile de calculer l’aire d’une figure irrégulière à 12 côtés à moins de la tracer sur un graphique et de pouvoir lire les coordonnées de chacun des sommets. Sinon, la meilleure stratégie consiste à diviser la figure en formes régulières pour lesquelles vous pouvez calculer l'aire.
Calcul de l'aire d'un polygone régulier à 12 côtés
Pour calculer l'aire d'un dodécagone régulier, vous devez trouver son centre et la meilleure façon de le faire est de tracer un cercle autour de lui qui ne touche que chacun de ses sommets. Le centre du cercle est le centre du dodécagone et la distance entre le centre de la figure et chacun de ses sommets est simplement le rayon du cercle (r). Chacun des 12 côtés de la figure a la même longueur, alors notez ceci par s.
Vous avez besoin d’une mesure supplémentaire, c’est la longueur d’une ligne perpendiculaire tracée du milieu de chaque côté au centre de la forme à 12 côtés. Cette ligne est connue sous le nom d'apothème. Indique sa longueur par m. Il divise chaque section formée par les lignes de rayon en deux triangles rectangles. Tu ne sais pas m, mais vous pouvez le trouver en utilisant le théorème de Pythagore.
Les 12 lignes de rayon divisent le cercle que vous avez tracé autour du dodécagone en 12 sections égales. Ainsi, au centre de la figure, l'angle de chaque ligne avec celle à côté est de 30 degrés. Chacune des 12 sections formées par les lignes de rayon est composée d'une paire de triangles rectangles avec hypoténuse r et un angle de 15 degrés. Le côté adjacent à l'angle est m, ainsi vous pouvez le trouver en utilisant r et le sinus de l'angle.
péché (15) = m/ret résoudre pour m
m = r × péché (15)
Vous pouvez maintenant trouver la surface de chacun des triangles isocèles inscrits dans le dodécagone, car vous connaissez la longueur de la base - qui est s - et la hauteur, m. L'aire de chaque triangle est 1/2 × base × hauteur
= 1/2 × s × m
= 1/2 × (s × r × péché (15))
Il y a 12 sections, multipliez par 12 pour trouver l'aire totale de la forme régulière à 12 côtés:
Surface du dodécagone régulier = 6 × (s × r × péché (15))
Trouver la zone d'un dodécagone irrégulier
Il n’existe pas de formule permettant de trouver l’aire d’un dodécagone irrégulier, car la longueur des côtés et les angles ne sont pas identiques. Il est même difficile de localiser le centre. La meilleure stratégie consiste à diviser la figure en formes régulières, à calculer l'aire de chacune d'elles et à les ajouter.
Si la forme est tracée sur un graphique et que vous connaissez les coordonnées des sommets, vous pouvez utiliser une formule pour calculer la surface. Si chaque point (n) est défini par (Xn, yn), et vous faites le tour de la figure dans le sens horaire ou antihoraire pour obtenir une série de 12 points, la surface est la suivante:
Surface = | (X1y2 − y1X2) + (X2y3 − y2X3) ... + (X11y12 − y11X12) +(X12y1 − y12X1)| ÷ 2.