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Parfois, la "croissance exponentielle" n’est qu’une figure de style, une référence à tout ce qui grandit de manière déraisonnable ou incroyablement rapide. Mais dans certains cas, vous pouvez prendre l’idée de croissance exponentielle à la lettre. Par exemple, une population de lapins peut croître de façon exponentielle à mesure que chaque génération prolifère, puis que leur progéniture prolifère, etc. Le revenu professionnel ou personnel peut aussi croître de manière exponentielle. Lorsque vous êtes appelé à effectuer des calculs réels de la croissance exponentielle, vous travaillez avec trois informations: la valeur initiale, le taux de croissance (ou la décroissance) et le temps.
TL; DR (Trop long; n'a pas lu)
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Pour calculer la croissance exponentielle, utilisez la formule y(t) = a__ekt, où une est la valeur au début, k est le taux de croissance ou de dégradation, t est le temps et y(t) est la valeur de la population au moment t.
Comment calculer les taux de croissance exponentielle
Imaginons qu'un scientifique étudie la croissance d'une nouvelle espèce de bactérie. Alors qu’il pouvait entrer les valeurs de quantité initiale, de taux de croissance et de temps dans un calculateur de croissance de population, il a décidé de calculer manuellement le taux de croissance des populations de bactéries.
En repensant à ses dossiers méticuleux, le scientifique voit que sa population initiale était de 50 bactéries. Cinq heures plus tard, il a mesuré 550 bactéries.
Saisie des informations scientifiques dans l'équation de croissance ou de décroissance exponentielle, y(t) = a__ekt, il possède:
550 = 50_ek_5
La seule inconnue qui reste dans l'équation est k, ou le taux de croissance exponentielle.
Pour commencer à résoudre pour k, divisez d’abord les deux côtés de l’équation par 50. Cela vous donne:
550/50 = (50_ek_5) / 50, qui simplifie à:
11 = e_k_5
Ensuite, prenons le logarithme naturel des deux côtés, noté ln (X) Cela vous donne:
ln (11) = ln (e_k_5)
Le logarithme naturel est la fonction inverse de eX, donc il "annule" efficacement le eX fonction sur le côté droit de l'équation, vous laissant avec:
ln (11) = _k_5
Ensuite, divisez les deux côtés par 5 pour isoler la variable, ce qui vous donne:
k = ln (11) / 5
Vous connaissez maintenant le taux de croissance exponentielle de cette population de bactéries: k = ln (11) / 5. Si vous comptez effectuer d'autres calculs avec cette population - par exemple, inscrivez le taux de croissance dans l'équation et estimez la taille de la population à t = 10 heures - il est préférable de laisser la réponse dans ce formulaire. Mais si vous n’effectuez pas de calculs supplémentaires, vous pouvez entrer cette valeur dans un calculateur de fonctions exponentiel - ou dans votre calculateur scientifique - pour obtenir une valeur estimée de 0,479579. Selon les paramètres exacts de votre expérience, vous pouvez arrondir cette valeur à 0,48 / heure pour faciliter le calcul ou la notation.