Une série de Taylor est une méthode numérique permettant de représenter une fonction donnée. Cette méthode a des applications dans de nombreux domaines d'ingénierie. Dans certains cas, tels que transfert de chaleur, analyse différentiellerésulte en une équation qui correspond à la forme d'une série de Taylor. Une série de Taylor peut également représenter une intégrale si l'intégrale de cette fonction n'existe pas analytiquement. Celles-ciles représentations ne sont pas des valeurs exactes, mais le calcul de davantage de termes dans la série rend l'approximation plus précise.
Choisissez un centre pour la série Taylor. Ce nombre est arbitraire,mais c’est une bonne idée de choisir un centre qui présente une symétrie dans la fonction ou dont la valeur simplifie les calculs mathématiques du problème. Si vous calculez leReprésentation en série de Taylor de f (x) = sin (x), un bon centre à utiliser est a = 0.
Déterminez le nombre de termes que vous souhaitez calculer. Plus vous utilisez de termes, plusvotre représentation sera exacte, mais comme une série de Taylor est une série infinie, il est impossible d’inclure tous les termes possibles. L'exemple sin (x) utilisera six termes.
Calculez les dérivés dont vous aurez besoin pour la série. Pour cet exemple, vous devez calculer tous les dérivés jusqu'au sixième dérivé. Puisque la série de Taylor commence à "n = 0", vousdoit inclure le "0" dérivé, qui est juste la fonction originale. 0ème dérivée = sin (x) 1er = cos (x) 2ème = -sin (x) 3ème = -cos (x) 4ème = sin (x) 5ème = cos (x) 6ème = -sin (x)
Calculez la valeur pour chaque dérivé au centre que vous avez choisi. Ces valeurs seront les numérateurs des six premiers termes de la série de Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0)= -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Utilisez les calculs dérivés et le centre pour déterminer les termes de la série de Taylor. 1er terme; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0= 0/1 2ème terme; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3ème terme; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4ème terme; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5èmeterme; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6ème terme; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Série de Taylor pour sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! +0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Supprimez les termes zéro dans la série et simplifiez l'expression algébriquement pour déterminer la représentation simplifiée de la fonction. Ce sera unséries complètement différentes, donc les valeurs de "n" utilisées précédemment ne sont plus valables. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ... sin (x) = x / 1! -(x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! - ... Puisque les signes alternent entre positif et négatif, la première composante de l’équation simplifiée doit être (-1) ^ n, puisqu’il n’ya pas mêmenuméros dans la série. Le terme (-1) ^ n donne un signe négatif lorsque n est impair et un signe positif lorsque n est pair. La représentation en série des nombres impairs est (2n + 1). Lorsque n = 0,ce terme est égal à 1; quand n = 1, ce terme est égal à 3 et ainsi de suite à l'infini. Dans cet exemple, utilisez cette représentation pour les exposants de x et les factorielles du dénominateur
Utilisez la représentation de la fonction à la place de la fonction d'origine. Pour des équations plus avancées et plus difficiles, une série de Taylor peut rendre une équation insoluble résoluble,ou du moins donner une solution numérique raisonnable.