Contenu
- Qu'est-ce qu'un facteur?
- Trouver le plus grand facteur commun: la première méthode
- Trouver le plus grand facteur commun: méthode deux
- Simplifier les fractions avec des facteurs communs
Trouver le plus grand facteur commun, ou GCF, de deux nombres est utile dans de nombreuses situations en mathématiques, mais particulièrement lorsqu'il s'agit de simplifier des fractions. Si vous vous débattez avec ce problème ou si vous trouvez des dénominateurs communs, apprendre deux méthodes pour trouver des facteurs communs vous aidera à atteindre vos objectifs. Tout d’abord, c’est une bonne idée d’apprendre les bases des facteurs; Ensuite, vous pouvez examiner deux approches pour trouver des facteurs communs. Enfin, vous pouvez voir comment appliquer vos connaissances pour simplifier une fraction.
Qu'est-ce qu'un facteur?
Les facteurs sont les nombres que vous multipliez ensemble pour produire un autre nombre. Par exemple, 2 et 3 sont des facteurs de 6, car 2 × 3 = 6. De même, 3 et 3 sont des facteurs de 9, car 3 × 3 = 9. Comme vous le savez peut-être, les nombres premiers sont des nombres qui n'ont pas de facteurs autres que eux-mêmes et 1. So 3 est un nombre premier, car les deux seuls nombres entiers (nombres entiers) pouvant se multiplier pour donner 3 comme réponse sont 3 et 1. De la même manière, 7 est un nombre premier, et donc 13 .
Pour cette raison, il est souvent utile de décomposer un nombre en «facteurs premiers». Cela signifie de rechercher tous les facteurs de nombre premiers d'un autre nombre. Il décompose fondamentalement le nombre en ses «blocs de construction» fondamentaux, ce qui constitue une étape utile dans la recherche du plus grand facteur commun de deux nombres et est également inestimable pour simplifier les racines carrées.
Trouver le plus grand facteur commun: la première méthode
La méthode la plus simple pour trouver le plus grand facteur commun de deux nombres consiste simplement à répertorier tous les facteurs de chaque nombre et à rechercher le nombre le plus élevé que tous deux partagent. Imaginez que vous souhaitiez trouver le facteur commun le plus élevé, à savoir 45 et 60. Commencez par examiner les différents nombres que vous pouvez multiplier pour obtenir 45.
La meilleure façon de commencer est d'utiliser les deux que vous savez fonctionner, même pour un nombre premier. Dans ce cas, nous savons que 1 × 45 = 45, donc nous savons que 1 et 45 sont des facteurs de 45. Ce sont les premiers et derniers facteurs de 45, vous pouvez donc les compléter à partir de là. Ensuite, déterminez si 2 est un facteur. C’est facile, car tout nombre pair sera divisible par 2 et aucun nombre impair ne le sera. Nous savons donc que 2 n’est pas un facteur de 45. Qu'en est-il de 3? Vous devriez être en mesure de remarquer que 3 est un facteur de 45, car 3 × 15 = 45 (vous pouvez toujours vous appuyer sur ce que vous savez pour résoudre ce problème, par exemple, vous saurez que 3 × 12 = 36 et que vous ajoutez trois à cela vous amène à 45).
Ensuite, 4 est un facteur de 45? Non - vous savez 11 × 4 = 44, alors ça ne peut pas être! Ensuite, qu'en est-il de 5? C’est un autre choix facile, car tout nombre se terminant par 0 ou 5 est divisible par 5. Et avec cela, vous pouvez facilement repérer que 5 × 9 = 45. Mais 6 n’est pas bon, car 7 × 6 = 42 et 8 × 6 = 48. Vous pouvez également voir que 7 et 8 ne sont pas des facteurs de 45. Nous savons déjà que 9 l'est, et il est facile de voir que 10 et 11 ne sont pas des facteurs. Continuez ce processus et vous remarquerez que 15 est un facteur, mais rien d’autre ne l’est.
Les facteurs de 45 sont donc: 1, 3, 5, 9, 15 et 45.
Pour 60, vous exécutez exactement le même processus. Cette fois, le nombre est pair (vous savez donc que 2 est un facteur) et divisible par 10 (donc 5 et 10 sont les deux facteurs), ce qui facilite un peu les choses. Après avoir répété le processus, vous devriez voir que les facteurs de 60 sont les suivants: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
La comparaison des deux listes montre que 15 est le plus grand facteur commun entre 45 et 60. Cette méthode peut prendre beaucoup de temps, mais elle est simple et fonctionnera toujours. Vous pouvez également commencer par tout facteur commun élevé que vous pouvez détecter immédiatement, puis rechercher simplement des facteurs plus élevés pour chaque nombre.
Trouver le plus grand facteur commun: méthode deux
La deuxième méthode de recherche du FSC pour deux nombres consiste à utiliser des facteurs premiers. Le processus de décomposition en facteurs premiers est un peu plus simple et structuré que de rechercher tous les facteurs. Passons à travers le processus pour 42 et 63.
Le processus de factorisation des nombres premiers consiste essentiellement à décomposer le nombre jusqu’à ce qu’il ne reste plus que des nombres premiers. Il est préférable de commencer par le plus petit nombre premier (deux) et de travailler à partir de là. Donc, pour 42, il est facile de voir que 2 × 21 = 42. Alors travaillons à partir de 21: Le facteur 2 est-il un facteur? Non est 3? Oui! 3 × 7 = 21, et 3 et 7 sont tous deux des nombres premiers. Cela signifie que les facteurs premiers de 42 sont 2, 3 et 7. Le premier «break» utilisait 2 pour atteindre 21, et le second le décomposait en 3 et 7. Vous pouvez vérifier cela en multipliant tous vos facteurs et en vérifiant vous obtenez le numéro d'origine: 2 × 3 × 7 = 42.
Pour 63, 2 n’est pas un facteur, mais 3 l’est, car 3 × 21 = 63. Encore une fois, 21 se décompose en 3 et 7 - les deux premiers - donc vous connaissez les facteurs premiers! Le contrôle montre que 3 × 3 × 7 = 63, selon les besoins.
Vous trouvez le facteur commun le plus élevé en regardant quels facteurs premiers les deux nombres ont en commun. Dans ce cas, 42 a 2, 3 et 7, et 63 a 3, 3 et 7. Ils ont 3 et 7 en commun. Pour trouver le facteur commun le plus élevé, multipliez tous les facteurs premiers communs. Dans ce cas, 3 × 7 = 21, donc 21 est le plus grand facteur commun de 42 et 63.
L'exemple précédent peut également être résolu plus rapidement. Puisque 45 est divisible par trois (3 × 15 = 45) et que 15 est divisible par trois (3 × 5 = 15), les facteurs premiers de 45 sont 3, 3 et 5. Pour 60, il est divisible par deux (2 × 30 = 60), 30 est divisible par deux aussi (2 × 15 = 30), puis il ne vous reste que 15, dont nous savons qu'il a pour facteurs trois et cinq, laissant 2, 2, 3 et 5. En comparant les deux listes, trois et cinq sont les facteurs premiers communs. Le plus grand facteur commun est donc 3 × 5 = 15.
Au cas où il y aurait trois facteurs premiers communs ou plus, vous les multiplierez de la même manière pour trouver le plus grand facteur commun.
Simplifier les fractions avec des facteurs communs
Si une fraction telle que 32/96 vous est présentée, les calculs ultérieurs peuvent s'avérer très compliqués, à moins que vous ne trouviez le moyen de simplifier la fraction. Trouver le plus petit facteur commun de 32 et 96 vous indiquera le nombre par lequel diviser les deux, pour obtenir une fraction plus simple. Dans ce cas:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Donc 32 = 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Pour 96, le processus donne:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
Donc 96 = 25 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Il devrait être clair que 25 = 32 est le facteur commun le plus élevé. En divisant les deux parties de la fraction par 32, on obtient:
32/96 = 1/3
La recherche de dénominateurs communs est un processus similaire. Imaginez que vous deviez ajouter les fractions 15/45 et 40/60. Nous savons d'après le premier exemple que 15 est le facteur commun le plus élevé de 45 et 60. Nous pouvons donc les exprimer immédiatement par 5/15 et 10/15. Puisque 3 × 5 = 15 et que les deux numérateurs sont également divisibles par cinq, nous pouvons diviser les deux parties des deux fractions par cinq pour obtenir 1/3 et 2/3. Maintenant, ils sont beaucoup plus faciles à ajouter et à voir que 15/45 + 40/60 = 1.