Contenu
- Le dérivé en tant que pente
- Le dérivé d'une fonction de puissance
- Dérivé d'une série de puissance
- Dérivés De Tables
L'une des opérations importantes que vous effectuez dans le calcul consiste à trouver des dérivés. La dérivée d'une fonction s'appelle également le taux de changement de cette fonction. Par exemple, si x (t) est la position d'une voiture à un moment quelconque t, alors la dérivée de x, qui s'écrit dx / dt, est la vitesse de la voiture. En outre, la dérivée peut être visualisée comme la pente d'une ligne tangente au graphique d'une fonction. Au niveau théorique, c'est ainsi que les mathématiciens trouvent des dérivés. En pratique, les mathématiciens utilisent des ensembles de règles de base et des tables de correspondance.
Le dérivé en tant que pente
La pente d'une ligne entre deux points correspond à la hausse ou à la différence des valeurs y divisée par le parcours ou à la différence des valeurs x. La pente d'une fonction y (x) pour une certaine valeur de x est définie comme la pente d'une ligne tangente à la fonction au point. Pour calculer la pente, construisez une ligne entre le point et un point proche, où h est un très petit nombre. Pour cette ligne, la course ou le changement de valeur x est h, et la hausse ou le changement de valeur y est y (x + h) - y (x). Par conséquent, la pente de y (x) au point est approximativement égale à / = / h. Pour obtenir exactement la pente, vous calculez la valeur de la pente lorsque h devient de plus en plus petit, jusqu'à la «limite», où elle passe à zéro. La pente ainsi calculée est la dérivée de y (x), qui s’écrit y ’y (x) ou dy / dx.
Le dérivé d'une fonction de puissance
Vous pouvez utiliser la méthode pente / limite pour calculer les dérivées de fonctions où y est égal à x à la puissance de a, ou à y (x) = x ^ a. Par exemple, si y est égal à x cube, y (x) = x ^ 3, alors dy / dx est la limite lorsque h passe à zéro de / h. Expanding (x + h) ^ 3 donne / h, ce qui réduit à 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 après la division par h. Dans la limite où h va à zéro, tous les termes qui contiennent h vont également à zéro. Donc, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Vous pouvez le faire pour des valeurs autres que 3 et, en général, vous pouvez montrer que d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Dérivé d'une série de puissance
De nombreuses fonctions peuvent être écrites comme ce que l’on appelle une série de puissances, qui sont la somme d’un nombre infini de termes, où chacun est de la forme C (n) x ^ n, où x est une variable, n est un entier et C ( n) est un nombre spécifique pour chaque valeur de n. Par exemple, la série de puissances pour la fonction sinus est Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., où "..." signifie que les termes continuent à à l'infini. Si vous connaissez la série de puissances d’une fonction, vous pouvez utiliser la dérivée de la puissance x ^ n pour calculer la dérivée de la fonction. Par exemple, la dérivée de Sin (x) est égale à 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., qui se trouve être la série de puissances pour Cos (x).
Dérivés De Tables
Les dérivées de fonctions de base telles que les puissances telles que x ^ a, les fonctions exponentielles, les fonctions de journalisation et les fonctions trigonométriques sont définies à l'aide de la méthode pente / limite, de la méthode des séries de puissances ou d'autres méthodes. Ces dérivés sont ensuite listés dans des tableaux. Par exemple, vous pouvez rechercher que la dérivée de Sin (x) est Cos (x). Lorsque les fonctions complexes sont des combinaisons des fonctions de base, vous avez besoin de règles spéciales, telles que la règle de chaîne et la règle de produit, également indiquées dans les tableaux. Par exemple, vous utilisez la règle de chaîne pour trouver que la dérivée de Sin (x ^ 2) est 2xCos (x ^ 2). Vous utilisez la règle de produit pour trouver que la dérivée de xSin (x) est xCos (x) + Sin (x). En utilisant des tables et des règles simples, vous pouvez trouver la dérivée de toute fonction. Mais lorsqu'une fonction est extrêmement complexe, les scientifiques ont parfois recours à des programmes informatiques.