Exposants fractionnaires: Règles de multiplication et de division

Contenu

• TL; DR (Trop long; n'a pas lu)
• Que sont les exposants fractionnaires?
• Règles relatives aux exposants de fractions: multiplier les exposants fractionnaires avec la même base
• Règles relatives aux exposants de fraction: division des exposants fractionnaires de même base
• Multiplier et diviser des exposants fractionnaires dans différentes bases

Apprendre à gérer les exposants fait partie intégrante de toute formation en mathématiques, mais heureusement, les règles pour les multiplier et les diviser correspondent à celles des exposants non fractionnaires. La première étape pour comprendre comment traiter les exposants fractionnaires consiste à obtenir un aperçu de ce qu’ils sont exactement. Vous pouvez ensuite examiner les moyens de combiner des exposants quand ils sont multipliés ou divisés et qu’ils ont la même base. En résumé, vous additionnez les exposants lors de la multiplication et soustrayez-les l'un de l'autre lors de la division, à condition qu'ils aient la même base.

TL; DR (Trop long; n'a pas lu)

Multipliez les termes avec des exposants en utilisant la règle générale:

X^une + X^b = X^{(une + b)}

Et divisez les termes avec les exposants en utilisant la règle:

X^une ÷ X^b = X^{(une – b)}

Ces règles fonctionnent avec toute expression à la place de une et b, même des fractions.

Que sont les exposants fractionnaires?

Les exposants fractionnaires constituent un moyen compact et utile d’exprimer des racines carrées, cubiques et supérieures. Le dénominateur de l'exposant vous indique quelle racine du nombre «de base» le terme représente. Dans un terme comme X^une, tu appelles X la base et une l'exposant. Donc, un exposant fractionnaire vous dit:

X^1/2 = √X

Le dénominateur de deux sur l’exposant vous indique que vous prenez la racine carrée de X dans cette expression. La même règle de base s'applique aux racines supérieures:

X^1/3 = ∛X

Et

X^1/4 = ⁴√x

Ce modèle continue. Pour un exemple concret:

9^1/2 = √9 = 3

Et

8^1/3 = ∛8 = 2

Règles relatives aux exposants de fractions: multiplier les exposants fractionnaires avec la même base

Multipliez les termes avec les exposants fractionnaires (à condition qu'ils aient la même base) en additionnant les exposants. Par exemple:

X^1/3 × X^1/3 × X^1/3 = X ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= X¹ = X

Puisque X^1/3 signifie “la racine du cube de X, "Il est parfaitement logique que cela multiplié par deux fois donne le résultat X. Vous pouvez également rencontrer des exemples tels que X^1/3 × X^1/3, mais vous vous en occupez exactement de la même manière:

X^1/3 × X^1/3 = X ^{(1/3 + 1/3)}

= X^2/3

Le fait que l'expression à la fin soit toujours un exposant fractionnaire ne change rien au processus. Cela peut être simplifié si vous notez que X^2/3 = (X^1/3)² = ∛X². Avec une expression comme celle-ci, peu importe que vous preniez la racine ou le pouvoir d’abord. Cet exemple montre comment calculer:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Étant donné que la racine cubique de 8 est facile à établir, résolvez-la comme suit:

∛8² = 2² = 4

Donc cela signifie:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

Vous pouvez également rencontrer des produits d’exposants fractionnaires avec des nombres différents dans les dénominateurs des fractions, et vous pouvez ajouter ces exposants de la même manière que vous ajouteriez d’autres fractions. Par exemple:

X^1/4 × X^1/2 = X^{(1/4 + 1/2)}

= X^{(1/4 + 2/4)}

= X^3/4

Ce sont toutes des expressions spécifiques de la règle générale pour multiplier deux expressions avec des exposants:

X^une + X^b = X^{(une + b)}

Règles relatives aux exposants de fraction: division des exposants fractionnaires de même base

Attaquez les divisions de deux nombres avec des exposants fractionnaires en soustrayant l’exposant que vous divisez (le diviseur) par celui que vous divisez (le dividende). Par exemple:

X^1/2 ÷ X^1/2 = X^{(1/2 – 1/2)}

= X⁰ = 1

Cela a du sens, car tout nombre divisé par lui-même est égal à un, ce qui concorde avec le résultat standard selon lequel tout nombre élevé à une puissance de 0 est égal à un. L'exemple suivant utilise des nombres comme bases et différents exposants:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

Ce que vous pouvez aussi voir si vous notez que 16^1/2 = 4 et 16^1/4 = 2.

Comme pour la multiplication, vous pouvez également vous retrouver avec des exposants fractionnaires qui ont un nombre autre qu'un seul dans le numérateur, mais vous les traitez de la même manière.

Celles-ci expriment simplement la règle générale pour diviser les exposants:

X^une ÷ X^b = X^{(une – b)}

Multiplier et diviser des exposants fractionnaires dans différentes bases

Si les bases sur les termes sont différentes, il n’existe pas de moyen facile de multiplier ou de diviser les exposants. Dans ces cas, calculez simplement la valeur des termes individuels, puis effectuez l'opération requise. La seule exception est si l'exposant est le même, auquel cas vous pouvez les multiplier ou les diviser comme suit:

X⁴ × y⁴ = (xy)⁴

X⁴ ÷ y⁴ = (x ÷ y)⁴