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Une distribution binomiale décrit une variable X si 1) il existe un nombre fixe n observations de la variable; 2) toutes les observations sont indépendantes les unes des autres; 3) la probabilité de succès p est le même pour chaque observation; et 4) chaque observation représente l'un des deux résultats possibles (d'où le mot "binomial" - pensez "binaire"). Cette dernière qualification distingue les distributions binomiales des distributions de Poisson, qui varient de manière continue plutôt que discrètement.
Une telle distribution peut s’écrire B (n, p).
Calcul de la probabilité d'une observation donnée
Supposons qu'une valeur k se situe quelque part sur le graphique de la distribution binomiale, qui est symétrique par rapport à la moyenne np. Pour calculer la probabilité qu'une observation ait cette valeur, cette équation doit être résolue:
P (X = k) = (n: k) pk(1-p)(n-k)
où (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!
Le "!" signifie une fonction factorielle, par exemple 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.
Exemple
Supposons qu'un basketteur effectue 24 lancers francs et a un taux de réussite établi de 75% (p = 0,75). Quelles sont les chances pour elle de toucher exactement 20 de ses 24 lancers?
Commencez par calculer (n: k) comme suit:
(n!) ÷ (k!) (n - k)! = 24! (20!) (4!) = 10 626
pk = (0.75)20 = 0.00317
(1-p) (n-k) = (0.25)4 = 0.00390
Ainsi, P (20) = (10 626) (0,00317) (0,00390) = 0,1314.
Ce joueur a donc 13,1% de chances de réaliser exactement 20 lancers francs sur 24, ce que l'intuition pourrait suggérer à propos d'une joueuse qui frapperait habituellement 18 lancers francs sur 24 (en raison de son taux de réussite établi de 75%).