Comment calculer la trajectoire d'une balle

Contenu

• TL; DR (Trop long; n'a pas lu)
• Le fond: Composantes de la vitesse (x) et (y)
• Trajectoires de base avec les équations d'accélération constante
• Incorporer Drag

Le calcul de la trajectoire d'une balle constitue une introduction utile à certains concepts clés de la physique classique, mais il est également possible d'inclure des facteurs plus complexes. Au niveau le plus élémentaire, la trajectoire d’une balle fonctionne exactement comme celle d’un autre projectile. La clé consiste à séparer les composantes de la vitesse entre les axes (x) et (y) et à utiliser l'accélération constante due à la gravité pour déterminer la distance de vol de la balle avant de toucher le sol. Toutefois, vous pouvez également intégrer la traînée et d’autres facteurs si vous souhaitez une réponse plus précise.

TL; DR (Trop long; n'a pas lu)

Ignorer la résistance au vent pour calculer la distance parcourue par une balle en utilisant la formule simple:

x = v_0x√2h g

Où (v_0x) correspond à sa vitesse de départ, (h) à la hauteur à partir de laquelle il tire et (g) à son accélération due à la gravité.

Cette formule incorpore la traînée:

x = v_X0t - CρAv² t² 2m

Ici, (C) est le coefficient de traînée de la balle, (ρ) est la densité de l'air, (A) est la surface de la balle, (t) est le temps de vol et (m) est la masse de la balle.

Le fond: Composantes de la vitesse (x) et (y)

Le point principal que vous devez comprendre lors du calcul de trajectoires est que les vitesses, les forces ou tout autre «vecteur» (qui a une direction et une force) peuvent être divisés en «composants». Si quelque chose bouge à un angle de 45 degrés à l'horizontale, pensez-y comme se déplaçant horizontalement avec une certaine vitesse et verticalement avec une certaine vitesse. En combinant ces deux vitesses et en prenant en compte leurs directions différentes, vous obtenez la vitesse de l'objet, y compris la vitesse et la direction résultante.

Utilisez les fonctions cos et sin pour séparer les forces ou les vitesses en leurs composants. Si quelque chose se déplace à une vitesse de 10 mètres par seconde à un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale, la composante x de la vitesse est la suivante:

v_X = v cos (θ) = 10 m / s × cos (30 °) = 8,66 m / s

Où (v) est la vitesse (c'est-à-dire 10 mètres par seconde) et vous pouvez placer n'importe quel angle à la place du (θ) en fonction de votre problème. Le composant (y) est donné par une expression similaire:

v_y = v sin (θ) = 10 m / s × sin (30 °) = 5 m / s

Ces deux composants constituent la vélocité d'origine.

Trajectoires de base avec les équations d'accélération constante

La clé de la plupart des problèmes de trajectoires réside dans le fait que le projectile cesse d'avancer lorsqu'il touche le sol. Si la balle tire à 1 mètre dans les airs, lorsque l’accélération due à la gravité l’abaisse de 1 mètre, elle ne peut plus se déplacer. Cela signifie que la composante y est la chose la plus importante à prendre en compte.

L'équation du déplacement de la composante y est la suivante:

y = v_0y t - 0.5gt²

L'indice «0» signifie la vitesse de départ dans la direction (y), (t) le temps et (g) l'accélération due à la pesanteur, qui est de 9,8 m / s.². Nous pouvons simplifier cela si la balle est tirée parfaitement horizontalement, de sorte qu’elle n’a pas de vitesse dans la direction (y). Cela laisse:

y = -0,5gt²

Dans cette équation, (y) signifie le déplacement par rapport à la position de départ et nous voulons savoir combien de temps il faut à la balle pour tomber de sa hauteur de départ (h). En d'autres termes, nous voulons

y = −h = -0,5gt²

Que vous réorganisez pour:

t = √2h g

C'est le moment du vol pour la balle. Sa vitesse avant détermine la distance parcourue, donnée par:

x = v_0x t

Où la vitesse est la vitesse à laquelle le pistolet quitte. Cela ignore les effets de la traînée pour simplifier les calculs. En utilisant l'équation de (t) trouvée il y a un moment, la distance parcourue est:

x = v_0x√2h g

Pour une balle qui tire à 400 m / s et qui tire à 1 mètre de haut, cela donne:

X__ = 400 m / s √

= 400 m / s × 0,452 s = 180,8 m

La balle parcourt ainsi environ 181 mètres avant de toucher le sol.

Incorporer Drag

Pour une réponse plus réaliste, faites glisser le curseur dans les équations ci-dessus. Cela complique un peu les choses, mais vous pouvez le calculer assez facilement si vous trouvez les informations requises sur votre balle, la température et la pression à laquelle elle est tirée. L'équation de la force due à la traînée est la suivante:

F_traîne = −CρAv² ÷ 2

Ici (C) représente le coefficient de traînée de la balle (vous pouvez le trouver pour une balle spécifique, ou utiliser C = 0,295 comme chiffre général), ρ est la densité de l'air (environ 1,2 kg / mètre cube à une pression et à une température normales) , (A) est la surface en coupe transversale d’une puce (vous pouvez résoudre ce problème pour une puce spécifique ou tout simplement utiliser A = 4,8 × 10).⁻⁵ m², la valeur pour un calibre .308) et (v) est la vitesse de la balle. Enfin, vous utilisez la masse de la balle pour transformer cette force en une accélération à utiliser dans l’équation, qui peut être considérée comme m = 0,016 kg, à moins que vous n’ayez une balle en tête.

Cela donne une expression plus compliquée pour la distance parcourue dans la direction (x):

x = v_X0t - CρUn V² t² 2m

Ceci est compliqué car techniquement, la traînée réduit la vitesse, ce qui réduit la traînée, mais vous pouvez simplifier les choses en calculant simplement la traînée en fonction de la vitesse initiale de 400 m / s. En utilisant un temps de vol de 0,452 s (comme auparavant), cela donne:

X__ = 400 m / s × 0,452 s - 2 × 0,016 kg

= 180,8 m - (0,555 kg m ÷ 0,032 kg)

= 180,8 m - 17,3 m = 163,5 m

L'ajout de la traînée modifie donc l'estimation d'environ 17 mètres.