Contenu
- Commandes et Factoriels
- Permutations avec répétition
- Permutations sans répétition
- Combinaisons sans répétition
- Combinaisons avec répétition
Supposons que vous avez n types d’éléments et que vous souhaitez en sélectionner une collection. Nous pourrions vouloir ces articles dans un ordre particulier. Nous appelons ces ensembles d'éléments permutations. Si l'ordre n'a pas d'importance, nous appelons l'ensemble des combinaisons de collections. Pour les combinaisons et les permutations, vous pouvez considérer le cas dans lequel vous choisissez plusieurs n types plus d'une fois, appelé avec répétition, ou le cas dans lequel vous choisissez chaque type une seule fois, appelé aucune répétition. Le but est de pouvoir compter le nombre de combinaisons ou de permutations possibles dans une situation donnée.
Commandes et Factoriels
La fonction factorielle est souvent utilisée lors du calcul de combinaisons et de permutations. N! signifie N × (N – 1) × ... × 2 × 1. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Le nombre de façons de commander un ensemble d'articles est une factorielle. Prenez les trois lettres a, b et c. Vous avez trois choix pour la première lettre, deux pour la seconde et un seul pour la troisième. En d'autres termes, un total de 3 × 2 × 1 = 6 commandes. En général, il y a n! façons de commander n articles.
Permutations avec répétition
Supposons que vous peigniez trois pièces et que chacune d'elles soit peinte de l'une des cinq couleurs suivantes: rouge (r), vert (g), bleu (b), jaune (y) ou orange (o). Vous pouvez choisir chaque couleur autant de fois que vous le souhaitez. Vous avez le choix entre cinq couleurs pour la première pièce, cinq pour la seconde et cinq pour la troisième. Cela donne un total de 5 × 5 × 5 = 125 possibilités. En général, le nombre de façons de sélectionner un groupe de r éléments dans un ordre particulier parmi n choix répétables est n ^ r.
Permutations sans répétition
Supposons maintenant que chaque pièce aura une couleur différente. Vous pouvez choisir parmi cinq couleurs pour la première pièce, quatre pour la seconde et trois pour la troisième. Cela donne 5 × 4 × 3 = 60, ce qui se trouve être 5! / 2 !. En général, le nombre de façons indépendantes de sélectionner r éléments dans un ordre particulier parmi n choix non répétables est n! / (N – r) !.
Combinaisons sans répétition
Ensuite, oubliez quelle pièce est de quelle couleur. Il suffit de choisir trois couleurs indépendantes pour le jeu de couleurs. L'ordre n'a pas d'importance ici, donc (rouge, vert, bleu) est identique à (rouge, bleu, vert). Pour tout choix de trois couleurs, il y en a 3! façons dont vous pouvez les commander. Donc, vous réduisez le nombre de permutations de 3! pour obtenir 5! / (2! × 3!) = 10. En général, vous pouvez choisir un groupe de r éléments dans n’importe quel ordre parmi une sélection de n choix non répétables de n! / façons.
Combinaisons avec répétition
Enfin, vous devez créer un jeu de couleurs dans lequel vous pouvez utiliser n’importe quelle couleur autant de fois que vous le souhaitez. Un code de comptabilité astucieux facilite cette tâche de comptage. Utilisez trois X pour représenter les salles. Votre liste de couleurs est représentée par rgbyo. Mélangez les X dans votre liste de couleurs et associez chaque X à la première couleur à gauche de celle-ci. Par exemple, rgXXbyXo signifie que la première pièce est verte, la seconde est verte et la troisième est jaune. Un X doit avoir au moins une couleur à gauche. Il y a donc cinq emplacements disponibles pour le premier X. Comme la liste comprend désormais un X, il existe six emplacements disponibles pour le deuxième X et sept emplacements disponibles pour le troisième X. In tous, il y a 5 × 6 × 7 = 7! / 4! façons d'écrire le code. Cependant, l'ordre des pièces est arbitraire, il n'y a donc que 7! / (4! × 3!) Arrangements uniques. En général, vous pouvez choisir r éléments dans n’importe quel ordre parmi n choix répétables de (n + r – 1)! / Façons.