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En mathématiques, une séquence est une chaîne de nombres organisée dans un ordre croissant ou décroissant. Une séquence devient une séquence géométrique lorsquevous pouvez obtenir chaque nombre en multipliant le nombre précédent par un facteur commun. Par exemple, les séries 1, 2, 4, 8, 16. . . est une suite géométrique avec le facteur commun 2.Si vous multipliez un nombre dans la série par 2, vous obtiendrez le nombre suivant. Au contraire, les séquences 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . n'est pas géométrique car il n'y a pas de communefacteur entre les nombres. Une séquence géométrique peut avoir un facteur commun fractionnaire, auquel cas chaque nombre successif est inférieur à celui qui le précède. 1, 1/2, 1/4,1/8. . . est un exemple. Son facteur commun est 1/2.
Le fait qu'une séquence géométrique ait un facteur commun vous permet de faire deux choses. La première consiste à calculer toute aléatoireélément de la séquence (que les mathématiciens aiment appeler le "nième" élément), et le second consiste à trouver la somme de la séquence géométrique jusqu'au nième élément. Lorsque vousFaites la somme de la séquence en mettant un signe plus entre chaque paire de termes, vous transformez la séquence en une série géométrique.
Trouver le nième élément d'une série géométrique
En général,vous pouvez représenter n'importe quelle série géométrique de la manière suivante:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
où "a" est le premier terme de la série et "r" le facteur commun.Pour vérifier cela, considérons la série dans laquelle a = 1 et r = 2. Vous obtenez 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . Ça marche!
Ceci établi, il est maintenant possible de dériver une formule pourle nième terme de la suite (xn).
Xn = ar(n-1)
L'exposant est n - 1 plutôt que n pour permettre au premier terme de la séquence d'être écrit comme ar0, ce qui équivaut à "a."
Vérifiez ceci en calculant le 4ème terme de la série d'exemples.
X4 = (1) • 23 = 8.
Calcul de la somme d'une séquence géométrique
Si vous voulez résumer une séquence divergente,qui est un avec une ration commune supérieure à 1 ou inférieure à -1, vous ne pouvez le faire qu’à concurrence d’un nombre fini de termes. Il est possible de calculer la somme d’un infini convergentséquence, cependant, qui est une avec un rapport commun entre 1 et -1.
Pour développer la formule de somme géométrique, commencez par considérer ce que vous faites. Vous cherchez letotal des séries d’additions suivantes:
a + ar + ar2 + ar3 + . . ar(n-1)
Chaque terme de la série est arket k va de 0 à n-1.La formule de la somme des séries utilise le signe sigma majuscule - ∑ - qui signifie d’additionner tous les termes compris entre (k = 0) et (k = n - 1).
Ark = un
ÀCochez cette case, considérez la somme des 4 premiers termes de la série géométrique commençant par 1 et ayant un facteur commun de 2. Dans la formule ci-dessus, a = 1, r = 2 et n = 4.En branchant ces valeurs, vous obtenez:
1 • = 15
Ceci est facile à vérifier en ajoutant vous-même les numéros de la série. En fait, lorsque vous avez besoin de la somme d’une série géométrique, saplus facile ajouter les numéros vous-même quand il n'y a que quelques termes. Si la série comporte un grand nombre de termes, il est beaucoup plus facile d’utiliser la formule de somme géométrique.