Contenu
- Définition de l'inégalité de valeur absolue
- Comment résoudre une inégalité de valeur absolue
- Inégalités de valeur absolue sans solution
- La notation des intervalles
Résoudre des inégalités de valeurs absolues ressemble beaucoup à la résolution d’équations de valeurs absolues, mais il faut garder quelques détails à l’esprit. Il est bon d’être déjà à l’aise pour résoudre des équations à valeur absolue, mais c’est bien si vous les apprenez aussi!
Définition de l'inégalité de valeur absolue
Tout d'abord, un inégalité de valeur absolue est une inégalité qui implique une expression de valeur absolue. Par exemple,
| 5 + X | - 10> 6 est une inégalité de valeur absolue car elle comporte un signe d'inégalité,>, et une expression de valeur absolue, | 5 + X |.
Comment résoudre une inégalité de valeur absolue
le étapes pour résoudre une inégalité de valeur absolue ressemblent beaucoup aux étapes permettant de résoudre une équation à valeur absolue:
Étape 1: Isolez l'expression de valeur absolue d'un côté de l'inégalité.
Étape 2: Résoudre la "version" positive de l'inégalité.
Étape 3: Résolvez la "version" négative de l'inégalité en multipliant par 1 la quantité de l'autre côté de l'inégalité et en inversant le signe de l'inégalité.
C’est beaucoup à prendre en une seule fois, c’est donc un exemple qui vous guidera à travers les étapes.
Résoudre l'inégalité pour X: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Pour ce faire, obtenez | 5 + 5_x_ | par lui-même sur le côté gauche de l'inégalité. Tout ce que vous avez à faire est d’en ajouter 3 de chaque côté:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Il existe maintenant deux "versions" de l'inégalité que nous devons résoudre: la "version" positive et la "version" négative.
Pour cette étape, supposons que les choses sont telles qu’elles apparaissent: que 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
C'est une simple inégalité. vous devez juste résoudre pour X comme d'habitude. Soustrayez 5 des deux côtés, puis divisez les deux côtés par 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (soustraire cinq des deux côtés)
5_x_> 0
5_x_ (5)> 0 (5) (diviser les deux côtés par cinq)
X > 0.
Pas mal! Donc, une solution possible à notre inégalité est que X > 0. Maintenant, puisqu'il y a des valeurs absolues impliquées, son heure envisage une autre possibilité.
Pour comprendre ce bit suivant, il est utile de se rappeler ce que signifie une valeur absolue. Valeur absolue mesure une distance numérique à partir de zéro. La distance est toujours positive, ainsi 9 est à neuf unités de zéro, mais −9 est également à neuf unités de zéro.
Donc | 9 | = 9, mais | −9 | = 9 aussi.
Revenons maintenant au problème ci-dessus. Le travail ci-dessus a montré que | 5 + 5_x_ | > 5; autrement dit, la valeur absolue de "quelque chose" est supérieure à cinq. Maintenant, tout nombre positif supérieur à cinq sera plus éloigné de zéro que cinq. Donc, la première option était que "quelque chose", 5 + 5_x_, est plus grand que 5.
Soit: 5 + 5_x_> 5.
C'est le scénario abordé ci-dessus, à l'étape 2.
Maintenant, réfléchissez un peu plus loin. Que reste-t-il à cinq unités de zéro? Eh bien, le négatif cinq est. Et tout ce qui se situe plus loin sur la droite des nombres allant de moins cinq va être encore plus éloigné de zéro. Ainsi, notre "quelque chose" pourrait être un nombre négatif plus éloigné de zéro que de cinq. Cela signifie que ce serait un plus grand nombre, mais techniquement moins que cinq négatifs parce qu’il se déplace dans le sens négatif sur la droite numérique.
Donc, notre "quelque chose", 5 + 5x, pourrait être inférieur à -5.
5 + 5_x_ <−5
Le moyen le plus rapide de procéder algébriquement consiste à multiplier la quantité de l'autre côté de l'inégalité, 5 par la valeur négative, puis à inverser le signe d'inégalité:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Puis résoudre comme d'habitude.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (soustrayez 5 des deux côtés)
5_x_ <−10
5_x_ (5) <−10 (5)
X < −2.
Donc, les deux solutions possibles à l'inégalité sont X > 0 ou X <−2. Vérifiez-vous en mettant en place quelques solutions possibles pour vous assurer que l'inégalité est toujours vraie.
Inégalités de valeur absolue sans solution
Il y a un scénario où il y aurait pas de solutions à une inégalité de valeur absolue. Puisque les valeurs absolues sont toujours positives, elles ne peuvent pas être inférieures ou égales aux nombres négatifs.
Donc | X | <−2 a pas de solution parce que le résultat d'une expression de valeur absolue doit être positif.
La notation des intervalles
Pour écrire la solution à notre exemple principal en la notation des intervalles, réfléchissez à l’apparence de la solution sur la droite numérique. Notre solution était X > 0 ou X <−2. Sur une droite numérique, c’est un point ouvert à 0, avec une ligne allant jusqu’à l’infini positif, et un point ouvert à -2, avec une ligne allant vers l’infini négatif. Ces solutions sont éloignées les unes des autres et non pas les unes des autres, prenez donc chaque pièce séparément.
Pour x> 0 sur une droite numérique, il y a un point ouvert à zéro, puis une ligne allant jusqu'à l'infini. En notation par intervalles, un point ouvert est illustré par des parenthèses, (), et un point fermé, ou des inégalités avec ≥ ou ≤, utilise des crochets,. Donc pour X > 0, écrivez (0,).
L'autre moitié, X <−2, sur une droite numérique, il y a un point ouvert à -2 puis une flèche allant jusqu'à −. En notation par intervalles, c'est (−∞, −2).
"Ou" en notation d'intervalle est le signe d'union,.
La solution en notation d'intervalle est donc (−∞, −2) ∪ (0, ∞).