Contenu
- Matrices, valeurs propres et vecteurs propres: ce qu'ils signifient
- Comment calculer des valeurs propres
- Conseils
- Trouver des vecteurs propres
Lorsqu’on vous présente une matrice dans un cours de mathématiques ou de physique, on vous demande souvent de trouver ses valeurs propres. Si vous n’êtes pas sûr de ce que cela signifie ou de la façon de le faire, la tâche est ardue et implique beaucoup de terminologies confuses qui aggravent encore la situation. Cependant, le processus de calcul des valeurs propres n’est pas trop difficile si vous êtes à l'aise avec la résolution d'équations quadratiques (ou polynomiales), à condition que vous appreniez les bases des matrices, des valeurs propres et des vecteurs propres.
Matrices, valeurs propres et vecteurs propres: ce qu'ils signifient
Les matrices sont des tableaux de nombres où A représente le nom d'une matrice générique, comme ceci:
( 1 3 )
UNE = ( 4 2 )
Les nombres dans chaque position varient et il peut même y avoir des expressions algébriques à leur place. Il s’agit d’une matrice 2 × 2, mais elles viennent dans une variété de tailles et n’ont pas toujours le même nombre de lignes et de colonnes.
Traiter avec des matrices est différent de traiter avec des nombres ordinaires, et il existe des règles spécifiques pour les multiplier, les diviser, les additionner et les soustraire les unes des autres. Les termes «valeur propre» et «vecteur propre» sont utilisés en algèbre matricielle pour désigner deux quantités caractéristiques de la matrice. Ce problème de valeur propre vous aide à comprendre la signification du terme:
UNE ∙ v = λ ∙ v
UNE est une matrice générale comme avant, v est un vecteur et λ est une valeur caractéristique. Regardez l'équation et remarquez que lorsque vous multipliez la matrice par le vecteur v, l’effet est de reproduire le même vecteur simplement multiplié par la valeur λ. Ceci est un comportement inhabituel et gagne le vecteur v et quantité λ noms spéciaux: le vecteur propre et la valeur propre. Ce sont des valeurs caractéristiques de la matrice parce que multiplier la matrice par le vecteur propre laisse le vecteur inchangé en dehors de la multiplication par un facteur de la valeur propre.
Comment calculer des valeurs propres
Si vous avez le problème de valeur propre pour la matrice sous une certaine forme, il est facile de trouver la valeur propre (car le résultat sera un vecteur identique à celui d'origine, sauf que multiplié par un facteur constant - la valeur propre). La réponse est trouvée en résolvant l'équation caractéristique de la matrice:
det (UNE – λje) = 0
Où je est la matrice d'identité, qui est vide, à part une série de 1 parcourant la matrice en diagonale. «Det» fait référence au déterminant de la matrice, qui pour une matrice générale:
( un B )
UNE = (c d)
Est donné par
det UNE = ad –bc
Donc, l'équation caractéristique signifie:
(a - λ b)
det (UNE – λje) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
Comme exemple de matrice, définissons UNE comme:
( 0 1 )
UNE = (−2 −3 )
Donc ça signifie:
det (UNE – λje) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
Les solutions pour λ sont les valeurs propres et vous les résolvez comme toute équation du second degré. Les solutions sont λ = - 1 et λ = - 2.
Conseils
Trouver des vecteurs propres
Trouver les vecteurs propres est un processus similaire. En utilisant l'équation:
(UNE – λ) ∙ v = 0
avec chacune des valeurs propres que vous avez trouvées à tour de rôle. Ça signifie:
(a - λ b) (v1 ) (a - λ) v1 + b v2 (0)
(UNE – λ) ∙ v = (c d - λ) (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
Vous pouvez résoudre ce problème en considérant chaque ligne à tour de rôle. Vous avez seulement besoin du ratio de v1 à v2, car il y aura une infinité de solutions potentielles pour v1 et v2.