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Une fois que vous commencez à résoudre des équations algébriques qui impliquent des polynômes, la capacité de reconnaître des formes spéciales de polynômes facilement pondérées devient très utile. L'un des polynômes «faciles» les plus utiles à repérer est le carré parfait, ou le trinôme qui résulte de la quadrature d'un binôme. Une fois que vous avez identifié un carré parfait, le factoriser dans ses composants individuels est souvent un élément essentiel du processus de résolution de problèmes.
Identifier les trinômes carrés parfaits
Avant de pouvoir factoriser un trinôme carré parfait, vous devez apprendre à le reconnaître. Un carré parfait peut prendre l'une des deux formes suivantes:
Voici quelques exemples de carrés parfaits que vous pourriez voir dans le «monde réel» des problèmes de mathématiques:
Quelle est la clé pour reconnaître ces carrés parfaits?
Vérifiez les premier et troisième termes du trinôme. Sont-ils les deux carrés? Si oui, déterminez ce qu'ils sont des carrés. Par exemple, dans le deuxième exemple du "monde réel" donné ci-dessus, y2 - 2_y_ + 1, le terme y2 est évidemment le carré de y. Le terme 1 est, peut-être moins évidemment, le carré de 1, car 12 = 1.
Multipliez les racines des premier et troisième termes ensemble. Pour continuer l'exemple, c'est y et 1, qui vous donne y × 1 = 1_y_ ou simplement y.
Ensuite, multipliez votre produit par 2. Poursuivant l’exemple, vous avez 2_y._
Enfin, comparez le résultat de la dernière étape au moyen terme du polynôme. Correspondent-ils? Dans le polynôme y2 - 2_y_ + 1, ils le font. (Le signe est sans importance; il peut également correspondre si le moyen terme était + 2_y_.)
Comme la réponse à l'étape 1 était "oui" et que le résultat de l'étape 2 correspond au moyen terme du polynôme, vous savez que vous recherchez un trinôme carré parfait.
Factorisation d'un trinôme carré parfait
Une fois que vous savez que vous recherchez un trinôme carré parfait, le processus de factorisation est assez simple.
Identifiez les racines, ou les nombres étant au carré, dans les premier et troisième termes du trinôme. Prenons un autre de vos exemples de trinômes que vous connaissez déjà: un carré parfait, X2 + 8_x_ + 16. Évidemment, le nombre au carré dans le premier terme est X. Le nombre au carré dans le troisième terme est 4, parce que 42 = 16.
Repensez aux formules pour des trinômes carrés parfaits. Vous savez que vos facteurs prendront soit la forme (une + b)(une + b) ou le formulaire (une – b)(une – b), où une et b sont les chiffres en carré dans les premier et troisième termes. Ainsi, vous pouvez écrire vos facteurs de cette manière, en omettant les signes au milieu de chaque terme pour le moment:
(une ? b)(une ? b) = une2 ? 2_ab_ + b2
Pour continuer l’exemple en substituant les racines de votre trinôme actuel, vous avez:
(X ? 4)(X ? 4) = X2 + 8_x_ + 16
Vérifiez le terme moyen du trinôme. At-il un signe positif ou un signe négatif (ou, pour le dire autrement, est-il ajouté ou soustrait)? S'il y a un signe positif (ou s'il est ajouté), alors les deux facteurs du trinôme ont un signe plus au milieu. S'il y a un signe négatif (ou est soustrait), les deux facteurs ont un signe négatif au milieu.
Le moyen terme du trinôme exemple actuel est 8_x_ - son positif - vous avez donc pris en compte le trinôme carré parfait:
(X + 4)(X + 4) = X2 + 8_x_ + 16
Vérifiez votre travail en multipliant les deux facteurs ensemble. En appliquant la méthode FOIL ou la première, externe, interne, dernière méthode, on obtient:
X2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Simplifier cela donne le résultat X2 + 8_x_ + 16, ce qui correspond à votre trinomial. Donc, les facteurs sont corrects.