Comment rationaliser le dénominateur

Contenu

• TL; DR (Trop long; n'a pas lu)
• Rationaliser une fraction avec un terme dans le dénominateur
• Rationaliser une fraction avec deux termes dans le dénominateur
• Rationalisation des racines de cube

Vous ne pouvez pas résoudre une équation qui contient une fraction avec un dénominateur irrationnel, ce qui signifie que le dénominateur contient un terme avec un signe radical. Cela inclut les racines carrées, cubiques et supérieures. Se débarrasser du signe radical s'appelle rationaliser le dénominateur. Lorsque le dénominateur a un terme, vous pouvez le faire en multipliant les termes du haut et du bas par le radical. Lorsque le dénominateur a deux termes, la procédure est un peu plus compliquée. Vous multipliez le haut et le bas par le conjugué du dénominateur et développez et simplement le numérateur.

TL; DR (Trop long; n'a pas lu)

Pour rationaliser une fraction, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre ou une expression qui supprime les signes radicaux du dénominateur.

Rationaliser une fraction avec un terme dans le dénominateur

Une fraction ayant la racine carrée d'un terme unique au dénominateur est la plus facile à rationaliser. En général, la fraction prend la forme a / √x. Vous le rationalisez en multipliant le numérateur et le dénominateur par √x.

√x / √x • a / √x = a√x / x

Puisque tout ce que vous avez fait est de multiplier la fraction par 1, sa valeur n’a pas changé.

Exemple:

Rationaliser 12 / √6

Multipliez le numérateur et le dénominateur par √6 pour obtenir 12√6 / 6. Vous pouvez simplifier ceci en divisant 6 en 12 pour obtenir 2, la forme simplifiée de la fraction rationalisée est donc:

2√6

Rationaliser une fraction avec deux termes dans le dénominateur

Supposons que vous ayez une fraction sous la forme (a + b) / (√x + √y). Vous pouvez vous débarrasser du signe radical du dénominateur en multipliant l'expression par son conjugué. Pour un binôme général de la forme x + y, le conjugué est x - y. Lorsque vous les multipliez ensemble, vous obtenez x² - y². Appliquant cette technique à la fraction généralisée ci-dessus:

(a + b) / (√ x - √y) • (√x - √y) / (√x - √y)

(a + b) • (√x - √y) / x - y

Développez le numérateur pour obtenir

(a√x -a√y + b√x - b√y) / x - y

Cette expression devient moins compliquée lorsque vous substituez des entiers à certaines ou à toutes les variables.

Exemple:

Rationaliser le dénominateur de la fraction 3 / (1 - √y)

Le conjugué du dénominateur est 1 - (-√y) = 1+ √y. Multipliez le numérateur et le dénominateur par cette expression et simplifiez:

[3 • (1 + √y)} / 1 - y

(3 + 3√y) / 1 - y

Rationalisation des racines de cube

Lorsque vous avez une racine cubique dans le dénominateur, vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par la racine cubique du carré du nombre situé sous le signe radical pour vous débarrasser du signe radical situé dans le dénominateur. En général, si vous avez une fraction sous la forme / ³√x, multiplier le haut et le bas par ³√x².

Exemple:

Rationaliser le dénominateur: 7 / ³√x

Multipliez le numérateur et le dénominateur par ³√x² obtenir

7 • ³√x² / ³√x • ³√x² = 7 • ³√x² / ³√x³

7 • ³√x² / X