Contenu
- Trouver l'angle central à partir de la longueur et de la circonférence de l'arc
- Trouver l'angle central à partir de la longueur et du rayon de l'arc
- Le théorème de l'angle central
- Exception au théorème de l'angle central
- Visualiser
Imaginez que vous vous teniez au milieu d’une arène parfaitement circulaire. Vous regardez vers la foule sur les côtés de l'arène, et vous apercevez votre meilleur ami à un siège et votre prof de maths à l'école intermédiaire quelques sections au-dessus. Quelle est la distance entre eux et vous? À quelle distance devez-vous marcher pour aller du siège de votre ami au siège de votre professeur? Quelles sont les mesures des angles entre vous? Ce sont toutes des questions liées aux angles centraux.
UNE angle central est l'angle formé lorsque deux rayons sont tirés du centre du cercle vers ses bords. Dans cet exemple, les deux rayons sont vos deux lignes de mire de vous, au centre de l’arène, pour votre ami, et votre ligne de mire pour votre professeur. L'angle formé entre ces deux lignes est l'angle central. C'est l'angle le plus proche du centre du cercle.
Votre ami et votre professeur sont assis le long du circonférence ou les bords du cercle. Le sentier le long de l’arène qui les relie est un arc.
Trouver l'angle central à partir de la longueur et de la circonférence de l'arc
Il existe plusieurs équations que vous pouvez utiliser pour trouver l'angle central. Parfois, vous aurez le longueur de l'arc, la distance le long de la circonférence entre deux points. (Dans l'exemple, il s'agit de la distance que vous devez parcourir dans l'arène pour aller de votre ami à votre enseignant.) La relation entre l'angle central et la longueur de l'arc est la suivante:
(longueur de l'arc) ÷ circonférence = (angle central) ÷ 360 °
L'angle central sera en degrés.
Cette formule a du sens, si vous y réfléchissez. La longueur de l'arc par rapport à la longueur totale autour du cercle (circonférence) est la même proportion que l'angle des arcs par rapport à l'angle total dans un cercle (360 degrés).
Pour utiliser cette équation efficacement, vous devez connaître la circonférence du cercle. Mais vous pouvez également utiliser cette formule pour trouver la longueur de l'arc si vous connaissez l'angle central et la circonférence. Ou, si vous avez la longueur de l'arc et l'angle central, vous pouvez trouver la circonférence!
Trouver l'angle central à partir de la longueur et du rayon de l'arc
Vous pouvez également utiliser le rayon du cercle et la longueur de l'arc pour trouver l'angle central. Appelez la mesure de l'angle central θ. Ensuite:
θ = s R, où s est la longueur de l'arc et r le rayon. θ est mesuré en radians.
Encore une fois, vous pouvez réorganiser cette équation en fonction des informations dont vous disposez. Vous pouvez trouver la longueur de l'arc à partir du rayon et de l'angle central. Ou vous pouvez trouver le rayon si vous avez l'angle central et la longueur de l'arc.
Si vous voulez la longueur de l'arc, l'équation ressemble à ceci:
s = θ * r, où s est la longueur de l’arc, r le rayon et θ l’angle central en radians.
Le théorème de l'angle central
Ajoutons une touche à votre exemple où vous êtes dans l’arène avec votre voisin et votre enseignant. Maintenant, il y a une troisième personne que vous connaissez dans l'arène: votre voisin d'à côté. Et encore une chose: ils sont derrière vous. Vous devez vous retourner pour les voir.
Votre voisin est à peu près de l’arène de votre ami et de votre professeur. Du point de vue de vos voisins, il y a un angle formé par leur ligne de mire à l’ami et celle de l’enseignant. C'est ce qu'on appelle un angle inscrit. Un angle inscrit est un angle formé par trois points le long d'une circonférence de cercles.
Le théorème de l'angle central explique la relation entre la taille de l'angle central formé par vous et l'angle inscrit formé par votre voisin. le Théorème d'Angle Central stipule que l'angle central est le double de l'angle inscrit. (Cela suppose que vous utilisez les mêmes points de terminaison. Vous regardez à la fois le professeur et l'ami, pas quelqu'un d'autre).
Heres une autre façon de l'écrire. Appelons vos amis le siège A, vos professeurs le siège B et vos voisins le siège C. Vous, au centre, pouvez être O.
Ainsi, pour trois points A, B et C le long de la circonférence d'un cercle et le point O au centre, l'angle central ∠AOC est le double de l'angle inscrit ABC.
C'est, AOC = 2∠ABC.
Cela a du sens. Vous êtes plus proche de l'ami et de l'enseignant, ils sont donc plus éloignés l'un de l'autre (angle plus large). Pour votre voisin de l'autre côté du stade, ils ont l'air beaucoup plus rapprochés (un angle plus petit).
Exception au théorème de l'angle central
Maintenant, permet de changer les choses. Votre voisin de l'autre côté de l'arène commence à bouger! Ils ont toujours une ligne de mire à l’ami et à l’enseignant, mais les lignes et les angles changent constamment à mesure que le voisin se déplace. Devinez quoi: tant que le voisin reste en dehors de l'arc entre l'ami et le voisin, le théorème de l'angle central reste vrai!
Mais que se passe-t-il quand le voisin bouge entre l'ami et l'enseignant? Maintenant, votre voisin est à l'intérieur du arc mineur, la distance relativement petite entre l’amie et l’enseignant par rapport à la distance plus grande autour du reste de l’arène. Ensuite, vous atteignez une exception au théorème de l'angle central.
le exception au théorème de l'angle central déclare que lorsque le point C, le voisin, est à l'intérieur de l'arc mineur, l'angle inscrit est le complément de la moitié de l'angle central. (Rappelez-vous qu'un angle et sa supplément ajouter à 180 degrés.)
Alors: angle inscrit = 180 - (angle central 2)
Ou: ∠ABC = 180 - (AOC 2)
Visualiser
Math Open Reference dispose d'un outil permettant de visualiser le théorème de l'angle central et son exception. Vous pouvez faire glisser le "voisin" vers toutes les parties du cercle et regarder les angles changer. Essayez-le si vous voulez une pratique visuelle ou supplémentaire!