Comment calculer la CG

Contenu

• Comment écrire sur le centre de gravité
• Comment calculer le centre de gravité d'un triangle
• Formule de centre de gravité pour un rectangle
• L'équation du centre de gravité
• Trucs pour trouver le centre de gravité

Avant de discuter du centre de gravité, supposons quelques paramètres. Premièrement, vous avez affaire à un objet qui se trouve à la surface de la Terre et non à l’espace. Et deuxièmement, l’objet est relativement petit - disons, pas un vaisseau spatial garé sur Terre, en attente de décoller.Une fois que toutes ces influences extraterrestres ont été éliminées, vous êtes en mesure de calculer le centre de gravité d'objets géométriques à l'aide d'une formule relativement simple. En fait, en raison des conditions que vous venez de définir, vous utiliserez la même formule pour déterminer le centre de gravité. trouver le centre de masse.

Comment écrire sur le centre de gravité

Le centre de gravité dans un plan à deux dimensions est généralement désigné par les coordonnées (x_cg, y_cg) ou parfois par les variables X et y avec un bar sur eux. En outre, le terme "centre de gravité" est parfois abrégé en cg.

Comment calculer le centre de gravité d'un triangle

Votre livre de math ou de physique contient souvent des tableaux permettant de déterminer le centre de gravité de certains chiffres. Mais pour certaines formes géométriques courantes, vous pouvez utiliser la formule de centre de gravité appropriée pour trouver le centre de gravité de ces formes.

Pour les triangles, le centre de gravité se situe au point d'intersection des trois médianes. Si vous commencez à un sommet du triangle, puis tracez une ligne droite jusqu'au milieu de l’autre côté, c’est une médiane. Faites la même chose pour les deux autres sommets et le point d'intersection des trois médianes est le centre de gravité des triangles.

Et bien sûr, il existe une formule pour cela. Si les coordonnées du centre de gravité des triangles sont (x_cg, y_cg), vous trouvez ses coordonnées ainsi:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Où (x₁, y₁), (X₂, y₂) et (x₃, y₃) sont les coordonnées des triangles trois sommets. Vous devez choisir quel sommet est affecté à quel numéro.

Formule de centre de gravité pour un rectangle

Avez-vous remarqué que pour trouver le centre de gravité d'un triangle, il vous suffit de faire la moyenne de la valeur des coordonnées x, puis de la valeur des coordonnées y et d'utiliser les deux résultats comme coordonnées de votre centre de gravité?

Pour trouver le centre de gravité d'un rectangle, vous faites exactement la même chose. Mais pour rendre vos calculs encore plus faciles, supposons que le rectangle soit orienté droit vers un plan de coordonnées cartésien (il ne soit donc pas placé selon un angle) et que son sommet inférieur gauche est à l'origine du graphique. Dans ce cas, trouver (x_cg, y_cg) pour un rectangle, tout ce que vous avez à calculer est:

X_cg = largeur ÷ 2

y_cg = hauteur ÷ 2

Si vous ne souhaitez pas déplacer votre rectangle à l’origine du plan de coordonnées ou si, pour une raison quelconque, il n’est pas exactement à l’angle des axes de coordonnées, vous pouvez faire face à cette formule légèrement plus effrayante, mais toujours efficace, pour faire la moyenne de toutes ses coordonnées x trouver la valeur de x_cget faire la moyenne de toutes les coordonnées y pour trouver la valeur de y_cg:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

L'équation du centre de gravité

Et si vous aviez besoin de calculer le centre de gravité pour une forme qui réponde à toutes les hypothèses mentionnées précédemment (vous n'essayez pas de faire de la science de fusée littérale en trouvant le centre de gravité d'objets dans l'espace), mais cela ne tombe pas les catégories que nous venons de mentionner ou dans les graphiques à la fin de votre livre? Vous pouvez ensuite subdiviser votre forme en formes plus familières et utiliser les équations suivantes pour trouver leur centre de gravité collectif:

X_cg = (a₁X₁ + un₂X₂ + . . + un_nX_n) (A₁ + un₂ + . . + un_n)

y_cg = (a₁y₁ + un₂y₂ + . . + un_ny_n) (A₁ + un₂ + . . + un_n)

Ou pour le dire autrement, x_cg équivaut à l'aire de la section 1 fois son emplacement sur l'axe des x, à l'aire de la section 2 fois son emplacement, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous ayez ajouté l'aire à l'emplacement de toutes les sections; divisez ensuite ce montant par la surface totale de toutes les sections. Ensuite, faites la même chose pour y.

Q: Comment trouver la zone de chaque section? La division de votre forme complexe ou irrégulière en polygones plus familiers vous permet d'utiliser des formules normalisées pour rechercher une surface. Par exemple, si vous avez divisé cette forme en morceaux rectangulaires, vous pouvez utiliser la formule longueur × largeur pour trouver l'aire de chaque morceau.

Q: Quel est le "lieu" de chaque section? L'emplacement de chaque section correspond aux coordonnées appropriées depuis le centre de gravité de cette section. Donc si tu veux y₂ (emplacement du segment 2), vous devez définir la coordonnée y pour le centre de gravité de ce segment. Encore une fois, c’est la raison pour laquelle vous subdivisez un objet de forme étrange en formes plus familières, car vous pouvez utiliser les formules déjà décrites pour trouver le centre de gravité de chaque forme, puis extraire les coordonnées appropriées.

Q: Où va ma forme sur le plan des coordonnées? Vous devez choisir l’emplacement de votre forme sur le plan des coordonnées - gardez simplement à l’esprit que le centre de gravité de votre réponse sera par rapport au même point de référence. Il est plus facile de placer votre objet dans le premier quadrant de votre graphique, avec son bord inférieur contre l’axe des x et le bord gauche contre l’axe des y, de sorte que toutes les valeurs x et y soient positives, mais aussi suffisamment petites pour être maniable.

Trucs pour trouver le centre de gravité

Si vous avez affaire à un seul objet, l’intuition et un peu de logique suffisent parfois pour trouver son centre de gravité. Par exemple, si vous envisagez un disque plat, le centre de gravité sera le centre du disque. Dans un cylindre, c’est le point médian de l’axe des cylindres. Pour un rectangle (ou un carré), c’est le point de convergence des diagonales.

Vous avez peut-être remarqué un motif ici: si l'objet en question a une ligne de symétrie, le centre de gravité sera sur cette ligne. Et s'il a plusieurs axes de symétrie, le centre de gravité se trouvera à l'intersection de ces axes.

Enfin, si vous essayez de trouver le centre de gravité d’un objet vraiment complexe, vous avez deux options: soit sortez vos meilleures intégrales de calcul (voir Ressources pour une intégrale triple représentant le centre de gravité d’une masse non uniforme) ou saisissez vos données dans un calculateur de centre de gravité spécialement conçu à cet effet. (Voir Ressources pour un exemple de calculateur de centre de gravité pour les avions contrôlés par radio.)