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Un nuage de points est un graphique qui montre la relation entre deux ensembles de données. Il est parfois utile d’utiliser les données contenues dans un nuage de points pour obtenir une relation mathématique entre deux variables. L'équation d'un nuage de points peut être obtenue manuellement, en utilisant l'une des deux méthodes principales: une technique graphique ou une technique appelée régression linéaire.
Création d'un nuage de points
Utilisez du papier quadrillé pour créer un nuage de points. Dessinez les axes x et y, assurez-vous qu'ils se croisent et étiquetez l'origine. Assurez-vous que les axes x et y ont également un titre correct. Ensuite, tracez chaque point de données dans le graphique. Toute tendance entre les ensembles de données tracés devrait maintenant être évidente.
Ligne de meilleur ajustement
Une fois qu'un nuage de points a été créé, en supposant qu'il existe une corrélation linéaire entre deux ensembles de données, nous pouvons utiliser une méthode graphique pour obtenir l'équation. Prenez une règle et tracez une ligne aussi proche que possible de tous les points. Essayez de vous assurer qu'il y a autant de points au-dessus de la ligne qu'en dessous de la ligne. Une fois la ligne tracée, utilisez les méthodes standard pour trouver l’équation de la ligne droite.
Équation de droite
Une fois que la droite la mieux ajustée a été placée sur un graphe de dispersion, il est facile de trouver l'équation. L'équation générale d'une ligne droite est la suivante:
y = mx + c
Où m est la pente (pente) de la ligne et c est l'ordonnée à l'origine. Pour obtenir le dégradé, trouvez deux points sur la ligne. Dans cet exemple, supposons que les deux points sont (1,3) et (0,1). Le gradient peut être calculé en prenant la différence entre les coordonnées y et en divisant par la différence entre les coordonnées x:
m = (3 - 1) / (1 - 0) = 2/1 = 2
Dans ce cas, la pente est égale à 2. Jusqu'ici, l'équation de la droite est
y = 2x + c
La valeur pour c peut être obtenue en substituant dans les valeurs un point connu. Suivant l'exemple, l'un des points connus est (1,3). Insérez ceci dans l'équation et réorganisez-le pour c:
3 = (2 * 1) + c
c = 3 - 2 = 1
L'équation finale dans ce cas est la suivante:
y = 2x + 1
Régression linéaire
La régression linéaire est une méthode mathématique qui peut être utilisée pour obtenir l’équation en ligne droite d’un nuage de points. Commencez par placer vos données dans une table. Pour cet exemple, supposons que nous ayons les données suivantes:
(4.1, 2.2) (6.5, 4.5) (12.6, 10.4)
Calculez la somme des valeurs x:
x_sum = 4.1 + 6.5 + 12.6 = 23.2
Ensuite, calcule la somme des valeurs y:
y_sum = 2,2 + 4,4 + 10,4 = 17
Additionnez maintenant les produits de chaque ensemble de points de données:
xy_sum = (4.1 * 2.2) + (6.5 * 4.4) + (12.6 * 10.4) = 168,66
Ensuite, calcule la somme des valeurs x au carré et des valeurs y au carré:
x_square_sum = (4.1 ^ 2) + (6.5 ^ 2) + (12.6 ^ 2) = 217,82
y_square_sum = (2.2 ^ 2) + (4.5 ^ 2) + (10.4 ^ 2) = 133,25
Enfin, comptez le nombre de points de données que vous avez. Dans ce cas, nous avons trois points de données (N = 3). Le gradient de la ligne de meilleur ajustement peut être obtenu à partir de:
m = (N * xy_sum) - (x_sum * y_sum) / (N * x_square_sum) - (x_sum * x_sum) = (3 * 168.66) - (23.2 * 17) / (3 * 217.82) - (23.2 * 23.2) = 0,968
L'interception de la ligne la mieux ajustée peut être obtenue auprès de:
c = (x_square_sum * y_sum) - (x_sum * xy_sum) / (N * x_square_sum) - (x_sum * x_sum)
= (217.82 17) - (23.2 168.66) / (3 * 217.82) - (23.2 * 23.2) = -1.82
L'équation finale est donc:
y = 0,968x - 1,82