Comment factoriser des polynômes avec des fractions

Contenu

• Polynômes avec des fractions définies
• Principes de base de l'affacturage - Méthode de la propriété distributive et FOIL
• Mesures à prendre lors de la factorisation de fractions polynomiales
• Evaluation des équations par décomposition partielle de fractions
• Simplifier le dénominateur
• Réorganiser le numérateur

La meilleure façon de factoriser des polynômes avec des fractions commence par réduire les fractions à des termes plus simples. Les polynômes représentent des expressions algébriques avec deux termes ou plus, plus précisément la somme de plusieurs termes ayant différentes expressions de la même variable. Les stratégies permettant de simplifier les polynômes impliquent de prendre en compte le facteur commun le plus important, puis de grouper l’équation dans ses termes les plus bas. Il en va de même lorsque vous résolvez des polynômes avec des fractions.

Polynômes avec des fractions définies

Vous avez trois façons de visualiser les polynômes d’expression avec des fractions. La première interprétation concerne les polynômes avec des fractions pour les coefficients. En algèbre, le coefficient est défini comme la quantité numérique ou la constante trouvée avant une variable. En d'autres termes, les coefficients pour 7a, b et (1/3) c sont 7, 1 et (1/3) respectivement. Voici donc deux exemples de polynômes à coefficients de fraction:

(1/4) x² + 6x + 20 ainsi que x² + (3/4) x + (1/8).

La deuxième interprétation de «polynômes à fractions» fait référence aux polynômes existant sous forme de fraction ou de rapport avec un numérateur et un dénominateur, le polynôme de numérateur étant divisé par le polynôme de dénominateur. Par exemple, cette seconde interprétation est illustrée par:

(X² + 7x + 10) (x² + 11x + 18)

La troisième interprétation, quant à elle, concerne la décomposition en fraction partielle, également appelée expansion en fraction partielle. Parfois, les fractions polynomiales sont complexes et, lorsqu'elles sont «décomposées» ou «décomposées» en termes plus simples, elles sont présentées sous forme de sommes, différences, produits ou quotients de fractions polynomiales. Pour illustrer, la fraction polynomiale complexe de (8x + 7) (x² + x - 2) est évalué par la décomposition de fractions partielles, ce qui implique accessoirement la factorisation de polynômes, pour être + sous la forme la plus simple.

Principes de base de l'affacturage - Méthode de la propriété distributive et FOIL

Les facteurs représentent deux nombres qui, multipliés ensemble, sont égaux à un troisième nombre. Dans les équations algébriques, la factorisation détermine les deux quantités qui ont été multipliées ensemble pour arriver à un polynôme donné. La propriété distributive est fortement suivie lors de la multiplication de polynômes. La propriété distributive permet essentiellement de multiplier une somme en multipliant chaque nombre individuellement avant d'ajouter les produits. Observez, par exemple, comment la propriété distributive est appliquée dans l'exemple de:

7 (10x + 5) pour arriver au binôme de 70x + 35.

Toutefois, si deux binômes sont multipliés ensemble, une version étendue de la propriété distributive est utilisée via la méthode FOIL. FOIL représente l'acronyme pour les termes premier, extérieur, intérieur et dernier en cours de multiplication. Par conséquent, la factorisation de polynômes implique l'exécution de la méthode FOIL à l'envers. Prenons les deux exemples susmentionnés avec les polynômes contenant des coefficients de fraction. Effectuer la méthode FOIL à l’arrière sur chacun d’eux entraîne les facteurs suivants:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) pour le premier polynôme et les facteurs de:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) pour le second polynôme.

Exemple: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Exemple: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Mesures à prendre lors de la factorisation de fractions polynomiales

À partir du haut, les fractions polynomiales impliquent un polynôme au numérateur divisé par un polynôme au dénominateur. L'évaluation des fractions polynomiales nécessite donc de factoriser d'abord le polynôme numérateur, puis de factoriser le polynôme dénominateur. Il est utile de trouver le plus grand facteur commun, ou GCF, entre le numérateur et le dénominateur. Une fois que le GCF du numérateur et du dénominateur est trouvé, il est annulé, ce qui réduit finalement toute l’équation en termes simplifiés. Prenons l'exemple de la fraction polynomiale originale ci-dessus de

(X² + 7x + 10) (x²+ 11x + 18).

La factorisation des polynômes de numérateur et de dénominateur pour trouver les résultats du FCV dans:

÷, avec le GCF étant (x + 2).

Le GCF du numérateur et du dénominateur s’annulent pour donner la réponse finale en termes les plus bas de (x + 5) (x + 9).

Exemple:

X² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

X²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Evaluation des équations par décomposition partielle de fractions

La décomposition en fractions partielles, qui implique la factorisation, est un moyen de réécrire des équations polynomiales complexes en une forme plus simple. Revisiter l'exemple du dessus de

(8x + 7) (x² + x - 2).

Simplifier le dénominateur

Simplifiez le dénominateur pour obtenir: (8x + 7).

8x + 7 8x + 7

__ = __

X² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Réorganiser le numérateur

Ensuite, réorganisez le numérateur pour qu'il commence à avoir les GCF dans le dénominateur, pour obtenir:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, qui est ensuite étendu à {(3x - 3)} + {(5x + 10)}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Pour l'ajout à gauche, le GCF est (x - 1), tandis que pour l'ajout à droite, le GCF est (x + 2), ce qui annule le numérateur et le dénominateur, comme on le voit dans {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Ainsi, lorsque les GCF annulent, la réponse simplifiée finale est +:

3 5

__ + __ comme solution de la décomposition en fraction partielle.

x + 2 x - 1